Математика и искусство

Из начала XX столетия перенесемся теперь в его вторую половину и перейдем к современным исследованиям по экспериментальной эстетике. Начиная с 1952 г. интересные работы по применению математических методов в исследованиях искусства — литературы, живописи, музыки — публикует видный немецкий ученый Вильгельм Фукс. Фукс — прежде всего физик, работающий в области физики плазмы. Однако у этого ученого-энциклопедиста есть и хобби — исследования в области экспериментальной эстетики, часть из которых собрана в интереснейшей монографии Фукса "По всем правилам искусства". В своих работах по экспериментальной эстетике Фукс стремился показать, что точные методы могут быть эффективно применены к исследованию культурного наследия человечества. Хотя со времен Галилея и Ньютона математическое описание стало великим путем познания природы, применение математического метода к искусству до сих пор вызывало недоверие, сарказм или просто неприязнь. Повинна в этом, скорее всего, все та же инерция мышления, "благодаря" которой в свое время отвергались анатомия и демографическая статистика, считавшиеся уделом лишь Бога и короля. Однако, как отмечает Фукс, "выдающиеся успехи точных наук в присущих им сферах привели к тому, что теперь все более соблазнительной представляется идея испытать методы этих наук и в других областях". В силу известного нам свойства математики "называть разные вещи одним и тем же именем" такие исследования помогли бы выявить общие закономерности в разнородных, на первый взгляд, явлениях культуры. Тем не менее сама постановка подобной проблемы была столь нова и необычна, что Фукс вполне справедливо задавал сам себе вопросы: "Можно ли применять абстрактный аппарат точных наук к явлениям культуры? И если да, то имеет ли это смысл? Будут ли получены при этом результаты, столь же объективные, как и в естественных науках? Удастся ли помимо голых чисел, результатов измерений и статистической обработки фактического материала выявить некий род объективных закономерностей, регулярностей, характерных форм явлений?"

Нам представляется, что работы Фукса дали, бесспорно, положительный ответ на эти вопросы, и мы надеемся, что рассматриваемые далее примеры, относящиеся к математическому анализу музыки, будут тому блестящим доказательством.

Вновь обратимся к анализу высоты музыкальных звуков, которому посвящена практически вся вторая часть книги. На примере многочисленных скрипичных произведений Фукс исследовал, как разные авторы в разные эпохи использовали звуковой материал скрипки. Диапазон звучания скрипки простирается от ноты соль малой октавы до ноты до пятой октавы. Считая энгармонически равные звуки (до-диез = ре-бемоль и т. п.) за один звук, в диапазоне соль-до₅мы имеем 54 звука. Пронумеруем их, т. е. каждому звуку скрипки поставим в соответствие число i = 1, 2, ..., 54: соль ⇔ i = l, соль-диез = ля-бемоль ⇔ i = , ля ⇔ i = 3 ..., до₅ ⇔ i = 54. Подсчитав общее число звуков N в данном произведении, легко найти относительную частоту появления i-ro звука по формуле

где n_i — частота i-то звука, т. е. число появлений i-го звука в произведении. Например, в струнном квартете ми-бемоль мажор Бетховена, в партии первой скрипки N = 3796, а нота соль первой октавы (i = l) встречается 23 раза (n₁ =23). Следовательно, ее относительная частота W₁= 23/3796 = 0,006. Ясно, что если самые верхние звуки из диапазона звучания скрипки в произведении не используются, то их частота будет равна нулю. Совокупность (i, W_i) i = l, 2, ..., k называется статистическим распределением, а ломаная линия, отрезки которой соединяют точки статистического распределения, называется полигоном относительных частот. Заметим, что поскольку n₁ + n₂ + ... + n_k = N, то W₁ + W₂ + ... + W_k = (n₁ + n₂ +... + n_k)/N=l, т. е. сумма всех относительных частот статистического распределения равна 1.

Полигоны относительных частот высоты звуков в партии первой скрипки. Уже по внешнему виду статистических распределений можно заключить, что композиторы-додекафонисты Берг и Веберн применяли совершенно иные правила композиции, чем Бетховен и Рихард Штраус