Математика и искусство

Среднее квадратическое отклонение показывает, насколько узко или насколько широко распределены вокруг эмпирического среднего значения статистического распределения x_i.

Таблица 3. Статистическое распределение (x_i = i, W_i) высоты звуков партии первой скрипки струнного квартета ми-бемоль мажор Бетховена. Для расчета дисперсии приведены также значения x_i² = i²

В качестве примера найдем эмпирическую среднюю, эмпирическую дисперсию и среднее квадратическое отклонение для статистического распределения высоты звуков партии первой скрипки струнного квартета ми-бемоль мажор Бетховена (см. с. 168). Выпишем значения x_i = i, x_i² = i² и W_i (i=l, 2, ..., 54) в виде таблицы 3. Легко проверить, что

Подставляя данные таблицы 3 в формулы (12.6), (12.7) и (12.8), находим

Итак, для струнного квартета Бетховена эмпирическая средняя = 19,25, т. е. "средним" звуком произведения является ре-бемоль второй октавы. Это еще мало о чем говорит. Вторая характеристика — среднее квадратическое отклонение — означает, что средний разброс звуков в произведении относительно ре-бемоль составляет ± 8 звуков, т. е. наиболее употребимые звуки произведения находятся в диапазоне 11≤i≤27, или от фа₁ до ля₂. Среднее квадратическое отклонение высоты звуков музыкального произведения оказалось чрезвычайно эффективной характеристикой, позволяющей найти общие закономерности в развитии всей музыки. Остановимся на этом подробнее.

Как уже отмечали, основной целью работ Фукса было не просто найти какие-либо числовые характеристики произведений искусства, а выявить на основании этих характеристик закономерности общего порядка. С этой целью Фуксом были составлены статистические распределения высоты звуков в партиях первой скрипки большого числа произведений за период почти в пятьсот лет. Были определены числовые характеристики этих распределений, и прежде всего среднее квадратическое отклонение. Анализ поведения среднего квадратического отклонения дал блестящий результат: среднее квадратическое отклонение за последние 500 лет истории европейской музыки монотонно возрастает. Это уже есть не что иное, как закон развития музыки!

В таблице 4 приведены результаты исследований Фукса. Здесь представлены произведения, написанные с 1530 г. по 1960 г. Для каждого произведения было составлено статистическое распределение высоты звуков в партии первой скрипки, аналогичное таблице 3. Затем были определены средние квадратические отклонения в этих распределениях (найденное нами значение σ = 7,8 для струнного квартета ми-бемоль мажор Бетховена находится в соответствующем месте таблицы 4). Наконец, для каждого периода в истории развития музыки было вычислено среднее арифметическое о средних квадратических отклонений отдельных произведений. Разбиение на периоды проведено в соответствии с существовавшими в музыке направлениями. Так, в таблице 4 полифония строгого стиля представлена произведениями Вилларта, Модены, Палестрины, Хаслера, Шейна и Розенмюллера; полифония свободного стиля (барокко) — произведениями Коре л ли, Вивальди и Баха; классицизм — произведениями Моцарта, Бетховена и Шпора; романтизм — произведениями Шуберта, Шумана, Брамса, Р. Штрауса и Чайковского; неоромантизм — произведениями Хиндемита, Бартока и Эгка; додекафония — произведениями Шёнберга, Веберна, Берга и Ноно. Поэтому естественно, что одни периоды в таблице 4 далеко отстоят друг от друга, а другие — пересекаются. Достаточно одного взгляда на первый и последний столбцы таблицы 4, чтобы увидеть закономерность: за прошедшие 500 лет значение возросло от 3,7 до 10,8, т. е. по мере развития музыки значение σвозрастает.

Таблица 4. Усредненные значения о среднего квадратического отклонения высоты звуков музыкального произведения отражают определенный закон развития музыки: за последние 500 лет значение а монотонно возрастает