Математика космоса. Как современная наука расшифровывает Вселенную

В 1907 году Герман Минковский придумал простую геометрическую картинку релятивистского пространства-времени. Я воспользуюсь упрощенным изображением всего с одним пространственным измерением и обычным измерением времени, но в принципе его можно распространить и на физически реалистичную картину с тремя пространственными измерениями. В этом представлении изогнутые «мировые линии» отражают движение частиц. По мере изменения временной координаты результирующую пространственную координату можно считать с этой кривой. Линии, проведенные под углом 45° к осям, представляют частицы, движущиеся со скоростью света. Поэтому мировые линии не могут пересекать никакую линию, направленную под 45°. Точка в пространстве-времени, называемая событием, определяет две такие линии; вместе они образуют его световой конус. Он состоит из двух треугольников: прошлого и будущего. Остальная часть пространства-времени недоступна из этой точки: чтобы попасть туда, вам пришлось бы двигаться быстрее света.

В евклидовой геометрии естественными преобразованиями (координат) являются жесткие перемещения, которые сохраняют расстояния между точками. В специальной теории относительности аналогами этих преобразований являются преобразования Лоренца, а сохраняется при этом величина, называемая интервалом

. По теореме Пифагора квадрат расстояния от начала координат до точки на плоскости равен сумме квадратов горизонтальной и вертикальной координат. Квадрат интервала равен квадрату пространственной координаты минус квадрат временной координаты[73]. Эта разница равняется нулю вдоль прямых, проведенных под 45°, и положительна внутри светового конуса. Так что интервал между двумя событиями, которые могут быть связаны причинной связью, представляет собой действительное число. В противном случае это мнимое число, отражающее невозможность движения от одного к другому.

В общей теории относительности в картину включается гравитация; для этого плоскости Минковского позволяют изгибаться, имитируя действие гравитационной силы, как на рисунке в 1 главе.

Пересматривая геометрию Минковского в координатах Крускала — Секереша, Роджер Пенроуз разработал элегантно простой способ изображения релятивистской геометрии черных дыр. Формула метрики явно задает эту геометрию, но на эту формулу можно смотреть до посинения, причем без всякого толку. Но поскольку нам нужна геометрия, может быть, стоит немного порисовать? Картинки не должны противоречить метрике, но хорошая картинка стоит тысячи расчетов.

Диаграммы Пенроуза раскрывают тонкие черты физики черных дыр, позволяя сравнивать различные их типы. Кроме того, эти диаграммы наводят нас на некоторые поразительные, хотя и умозрительные, возможности. Пространство опять упрощается до одного измерения (его располагают горизонтально), время рисуют вертикально, а световые лучи идут под углом 45° и образуют световые конусы, которые разделяют прошлое, будущее и каузально недоступные области.

Обычно рисунок Минковского имеет форму квадрата, но в диаграммах Пенроуза вместо этого используется ромб, призванный подчеркнуть особую роль диагональных линий, идущих под 45°. Обе фигуры всего лишь разные способы сжать бесконечную плоскость в конечное пространство. Это необычные, но удобные и полезные системы координат для пространства-времени.

Для разминки начнем с простейшего объекта — черной дыры Шварцшильда. Диаграмма Пенроуза для нее довольно проста. Ромб представляет вселенную[74]

, в основном соответствующую модели Минковского. Кривая со стрелкой — это мировая линия космического корабля, падающего в черную дыру сквозь ее горизонт (событий) и попадающего в центральную сингулярность (зубчатая линия). Но теперь здесь есть еще и второй горизонт, подписанный «антигоризонт». Это о чем?

Обсуждая космический корабль, падающий в черную дыру, мы выяснили, что этот процесс выглядит очень по-разному, если вы находитесь внутри этого корабля или наблюдаете происходящее снаружи от черной дыры. Космический корабль следует траектории, похожей на изогнутую стрелку на рисунке, он проходит сквозь горизонт событий и движется к сингулярности. Но поскольку свет уходит от него все медленнее по мере того, как корабль приближается к горизонту, внешний наблюдатель видит его все более красным; он видит, как корабль замедляется и в конце концов как будто просто останавливается. Изменение цвета вызывается гравитационным красным смещением: гравитационные поля замедляют время, меняя частоту электромагнитной волны. Другие объекты, упавшие внутрь черной дыры, тоже останутся видимыми, кто бы и когда бы на них ни посмотрел. Однажды застыв в движении, они всегда после этого будут выглядеть одинаково.

Горизонт на диаграмме Пенроуза — это горизонт событий, каким его видит экипаж космического корабля. Антигоризонт — это там, где корабль выглядит остановившимся, с точки зрения внешнего наблюдателя.