Математика. Поиск истины.

Как мы познаем окружающий нас реальный мир? Всем нам приходится полагаться на свидетельства наших органов чувств — слуха, зрения, осязания, вкуса, обоняния, — когда мы решаем повседневные проблемы или получаем от чего-то удовольствие. Чувственные восприятия многое говорят нам о реальном мире, но в основном наши органы чувств слишком грубы. Декарт (быть может, с излишней резкостью) назвал ощущения обманом наших чувств. Правда, такие приборы и инструменты для научных исследований, как, например, телескоп, существенно расширяют границы доступного нашему чувственному восприятию, но лишь в определенных пределах.

Многие явления окружающего нас реального мира вообще скрыты от наших органов чувств. Они ничего не говорят нам, о том, что Земля вращается вокруг своей оси и обращается вокруг Солнца. Они умалчивают о природе силы, удерживающей планеты на их орбитах, об электромагнитных волнах, позволяющих нам принимать радио- и телепередачи за сотни и тысячи километров от передающей станции.

Эта книга повествует в основном не о том, что можно было бы назвать «земными» приложениями математики, например о точном определении высоты 50-этажного дома. Читатель сможет почерпнуть кое-какие сведения об ограниченных возможностях наших органов чувств, но главное внимание здесь уделено описанию того, что мы узнаем о реальностях окружающего мира посредством одной лишь математики. Не вдаваясь в изложение идей и методов самой математики, я постараюсь рассказать о том, какие черты основных явлений современного мира мы постигаем с ее помощью. Разумеется, опыт и экспериментирование играют определенную роль в нашем исследовании природы, но, как станет ясно из дальнейшего, во многих областях знания их вклад незначителен.

В XVII в. Блез Паскаль горько сетовал на беспомощность человека. Ныне созданное нашими усилиями всемогущее оружие — математика — позволяет познавать многое в окружающем нас реальном мире и овладевать им. В 1900 г., обращаясь к участникам II Международного конгресса математиков, один из величайших представителей современной математической науки Давид Гильберт заявил: «Математика — основа всего точного естествознания» ([1], с. 69). С полным основанием можно добавить, что только математика позволила получить то знание о разнообразных жизненно важных явлениях, которыми мы ныне располагаем. Многие науки по существу представляют собой свод математических теорий, скупо приправленных физическими фактами.

Вопреки впечатлению, которое обычно складывается у тех, кому довелось прослушать курс математики в стенах учебного заведения, математика — это не просто набор более или менее хитроумных приемов для решения задач. Математика открывает нам немало такого, о чем мы не знали и даже не подозревали, хотя речь идет о явлениях весьма существенных, и нередко ее выводы противоречат нашему чувственному восприятию. Математика — суть нашего знания о реальном мире. Она не только выходит за пределы чувственного восприятия, но и оказывает на него воздействие.

Благодарности

Я глубоко признателен сотрудникам издательства «Оксфорд юниверсити пресс» за тщательную работу над книгой. Хочу также поблагодарить мою жену Элен и мисс Мэрилин Маневитц, внимательно вычитавших и перепечатавших рукопись этой книги.

М. Клайн.

Бруклин, Нью-Йорк, март 1985 г.

Историческая ретроспектива: существует ли внешний мир?

Философ — это тот, кто знает нечто о том, что никто другой не знает так хорошо.

Декарт

Нет такой нелепости, которую бы не изрекли философы.

Цицерон

Да разве вся философия не похожа на запись, сделанную медом? На первый взгляд она выглядит великолепно. Но стоит взглянуть еще раз — и от нее остается только липкое пятно.

Эйнштейн

Существует ли реальный физический мир независимо от человека? Существуют ли горы, деревья, суша, море и небо независимо от того, есть ли люди, способные воспринимать все эти объекта? Такой вопрос кажется нелепым: разумеется, существуют. Разве мы не наблюдаем окружающий мир постоянно? Разве наши органы чувств не рождают у нас непрерывно ощущения, подтверждающие существование внешнего мира? Но люди мыслящие полагают не лишним подвергнуть сомнению очевидное, даже если это сомнение разрешается еще одним подтверждением.