Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Киньте на стол тощую бипирамиду, и вы увидите, в чем проблема. Она не кувыркается. Уравновешенная двумя заостренными концами, она почти что катится, словно рулон бумажных полотенец, заваливаясь влево-вправо и повышая шансы то одной, то другой группы граней. Ее равновесие после остановки хрупко; один неосторожный вздох — и она перевернется на другую грань. Это не рецепт веселой игры в парчиси, а гарантия семейного скандала со взаимными упреками.

У наилучшей игральной кости симметричны не только грани. Нужно, чтобы все ее компоненты было симметричными. И если вы страстный поклонник многогранников, то вы понимаете, что это значит.

Платоновы тела!

Из всех трехмерных геометрических фигур с прямыми ребрами платоновы тела самые совершенные. Можно поменять местами любые две грани, угла или ребра — симметрия настолько великолепна, что даже закоренелый циник не усомнится в их выдающейся честности.

Есть всего пять платоновых тел, ни больше и ни меньше. И каждый бог этого геометрического пантеона снизошел на землю в образе игральной кости.

1. Тетраэдр — пирамида, состоящая из равносторонних треугольников. За 3000 лет до н. э. обитатели Древней Месопотамии кидали игральные кости в виде тетраэдра во время Царской игры города Ур, предшественницы игры в нарды.

2. Куб — призма с квадратными гранями. Простой, устойчивый, легко изготовляемый, он остается самой популярной формой игральных костей за всю историю человечества. Древнейший экземпляр — куб из обожженной глины, найденный на раскопках в Северном Ираке, — датируют 2750 годом до н. э.

3. Октаэдр — особая бипирамида, грани которой представляют собой равносторонние треугольники. Игральные кости в виде октаэдров были найдены в нескольких египетских гробницах.

4. Додекаэдр — радующий глаз драгоценный камень с 12 гранями в виде правильных пятиугольников. Он помогал прорицать судьбы в XVI веке во Франции. Сегодня астрологи наслаждаются соответствием 12 граней и 12 знаков зодиака.

5. Икосаэдр — многогранник из 20 равносторонних треугольников. Это неотъемлемый элемент игры «Подземелья и драконы», но он гораздо популярнее в гаданиях. Так называемый шар вопросов и ответов представляет собой икосаэдр, плавающий в воде. Встряхните его — и это платоново тело предскажет ваше будущее.

Платоновы тела — козыри игры в кости. Невозможно представить их без небесного хора, поющего на заднем фоне. Однако этот элитный пантеон из пяти элементов слишком малочислен. Они обеспечивают 4, 6, 8, 12 и 20 случайных исходов… но других вариантов нет.

Имеет смысл расширить горизонт. Почему бы не выбрать дизайн, взламывающий парадигму, свежий, инновационный путь, способный обеспечить любое количество равновероятных результатов?

Спойлер: легко сказать, трудно сделать.

Правило № 3. Хорошая игральная кость работает повсеместно

Одна из альтернатив — продолговатая игральная кость. Не тревожьтесь о том, имеют ли все грани равные шансы, и сконструируйте вытянутую призму.

Эти игральные кости работают не потому, что все грани выпадают с равной вероятностью, а потому, что две из них не выпадают никогда. Продолговатая игральная кость играет честно, выглядит красиво и позволяет выбрать любое количество возможных исходов. Так почему они не слишком популярны?[57]

Ну… они слишком далеко катятся.

В то время как платоновы тела отплясывают на столе, словно на танцплощадке, подпрыгивая там и сям, продолговатая игральная кость катится в одном направлении. Вы должны расчистить для нее целую дорожку для боулинга. Каким же самомнением должны обладать игральные кости, чтобы расстилать перед ними ковровую дорожку?[58]

Запишем на грифельной доске еще один математический принцип: непрерывность[59].

Киньте вашу продолговатую игральную кость и ждите, пока она не остановится. (И ждите, и ждите…) Как мы можем видеть, две грани не выпадают никогда. Но представьте укороченную игральную кость, не такую уж и продолговатую. Чем она короче, тем выше вероятность выпасть двум боковым граням. Чем дальше вы укорачиваете вашу игральную кость, тем больше она уподобляется монете, и грани меняются ролями. Монета почти никогда не падает на ребро — выпадает или орел, или решка.

В процессе укорачивания есть критическая точка, когда все грани будут выпадать с равной вероятностью. Это и будет честная игральная кость.

Теоретически вы можете проделать этот фокус с любым многогранником и отыскать геометрические фигуры, которые выглядят чудаковато, но тем не менее обеспечивают справедливую игру. Но где же они? Почему в разделе новинок в магазинах не продаются изящные игральные кости, которые хоть и диковатого вида, но все равно хороши для игры, — фантастический антипод жульнических игральных костей?