Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Подбросьте 50 монет, и количество исходов возрастет до 2⁵⁰, то есть больше квадриллиона. Эта тенденция агрессивного роста известна под названием комбинаторный взрыв. Линейный рост количества объектов ведет к экспоненциальному росту количества их комбинаций. Горсть монет, при всей своей кажущейся простоте, порождает непостижимое разнообразие.

Вторая тенденция обратная: даже если число вариантов быстро возрастает, доля необычных исходов сильно сокращается. Удостоверьтесь в этом на примере с четырьмя монетами, приведенном выше: есть всего два необычных варианта (все орлы и все решки) против 14 обыкновенных. Чем больше монет мы подбрасываем, тем меньше число необычных вариантов и тем глубже мы увязаем в трясине с практически равным соотношением орлов и решек.

Причина проста. Обычные исходы обычны именно потому, что есть много вариантов получить их. В то же время необычные результаты необычны именно потому, что их редко можно получить[102].

Предположим, мы подбрасываем 46 монет. Есть всего один вариант, когда все они выпадают орлом кверху.

Но допустим, нас интересуют исходы, когда единожды все-таки выпадает решка — возможно, это первая монета, или вторая, или третья, или четвертая, или пятая… и так далее вплоть до сорок шестой. Таким образом, есть 46 вариаций.

Сколько вариантов с двумя решками и 44 орлами? Еще больше. Решкой кверху могут выпасть первая и вторая монеты, или первая и третья, или первая и четвертая… или первая и последняя… или вторая и третья, или вторая и четвертая, или вторая и пятая… вплоть до второй и сорок шестой. В общей сложности есть более чем 1000 вариаций. Еще теплее! Наиболее вероятный исход — 23 орла и 23 решки — подразумевает восемь триллионов различных вариантов.

Я не экстрасенс, но если вы подбросите 46 монет, то я предвижу, что произойдет одно из двух:

1. От 16 до 30 монет выпадут орлом кверху[103].

2. Ваша последовательность будет исторической аномалией, уникальной в опыте всего человечества. Ни один подбрасыватель 46 монет еще не достиг ровно такого результата!

Отчего-то первый результат (серединный) затмевает второй (великолепный и уникальный). Для нас все монеты взаимозаменяемы, поэтому любая примерно сбалансированная последовательность орлов и решек будет казаться нам обычной и забудется, как снежинка во время метели.

Но представьте, что нас интересует структура этой снежинки. Представьте, что каждая последовательность орлов и решек для нас — особый поворот судьбы. Что, если нас тревожит не просто количество, но и конкретная последовательность орлов и решек?

Тогда любая из 70 триллионов возможных комбинаций станет для нас настолько исчезающе маловероятной, настолько вопиюще неожиданной, что ее появление покажется чудом. Она заворожит нас, словно звезда, сорвавшаяся с неба прямо к нам в руки. Эта последовательность 46 орлов и решек будет бесценна, как… ну, новорожденный малыш.

И это подводит нас к сложнейшему из двух вопросов главы: генетике.

Каждая клетка вашего тела содержит 23 пары хромосом. Представьте, что это поваренная книга в 23 томах, инструкция по изготовлению вашего организма, и у вас есть две версии каждого тома: мамина и папина.

Разумеется, у ваших родителей тоже есть по две копии: одна от вашей бабушки, другая от дедушки. Как они решили, какие именно хромосомы передать вам, своей драгоценной горошинке? Предположим, — и здесь я прибегаю к довольно театральному упрощению — они подбросили монету. Орел — вы получаете хромосому от дедушки. Решка — от бабушки.

Ваши родители повторили этот процесс по 23 раза, выбрали 23 тома, и в результате… ну, появились вы.

Исходя из этой модели у каждой семейной пары есть 2⁴⁶, или 70 триллионов, различных вариантов распорядиться своими хромосомами. В отличие от игры в орлянку, здесь детали имеют значение. Я унаследовал от матери густые волосы и тягу к чтению, а от отца — его походку и любовь к ясности. Если бы я унаследовал иную смесь их черт, например отцовские кудри и рост матери (или отсутствие того и другого), я бы стал другим человеком — своим собственным братом.

В наследовании генов орел и решка — не то же самое, что решка и орел.

Эта модель предсказывает различные степени сходства между братьями и сестрами, которые мы можем видеть. Одна крайность — всякий раз монета для младшего брата может выпасть так же, как для старшего. Несмотря на разницу в возрасте, такие братья, по сути дела, будут близнецами.

Другая крайность — ни одна монета не выпадает так, как в предыдущем случае. Тогда братья, словно в какой-нибудь жуткой книге Филиппа К. Дика, по отношению друг к другу будут генетическими чужаками, имеющими на биологическом уровне не больше общего, чем их родители^{47}.

Разумеется, обе крайности маловероятны. Скорее всего, у братьев будет примерно половина общих хромосом из 46 — возможно, чуть больше, а возможно, чуть меньше. Согласно нашей биномиальной модели, львиная доля вариантов — от 18 до 28 общих хромосом.