Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

И Лоренц, и американская столица были ошарашены непредсказуемостью погоды. Однако между этими событиями есть гораздо более глубокая связь. Забудьте о хаосе снежной бури и подумайте о том факте, что Джон Фицджеральд Кеннеди вообще стал президентом.

Тремя месяцами ранее он одержал победу над Ричардом Никсоном, и выборы были среди самых близких к ничьей за всю историю США. Во всенародном голосовании он набрал больше всего на 0,17 % и получил преимущество в Коллегии выборщиков благодаря небольшому перевесу в Иллинойсе (9000 голосов) и Техасе (46 000 голосов). Полвека спустя историки все еще спорят: что, если Кеннеди вырвался вперед благодаря подтасовке при подсчете бюллетеней? (Вердикт: может, и нет, но кто знает?) Несложно представить близлежащую параллельную вселенную, где Никсон одержал победу.

Однако чрезвычайно сложно представить, что происходило бы дальше.

Операция в заливе Свиней^{82}, Карибский кризис, убийство Кеннеди, президентство Линдона Джонсона, Билль о гражданских правах, «Великое общество»^{83}, Вьетнамская война, Уотергейтский скандал, бессмертный хит Билли Джоэла «Не мы первыми открыли огонь»… Все это и многое другое зависело от решений, принятых в Белом доме. Колебание в 0,2 % голосов в ноябре 1960 года могло бы поменять ход мировой истории, как ошибка округления, породившая циклон на северо-западе Атлантики.

С тех пор как я стал достаточно взрослым, чтобы заметить, что мир меняется, я терзаюсь вопросом о том, каким образом осмыслить эти перемены. Цивилизация прочерчивает путь, который априори нельзя познать, предсказать и вообразить. Как мы можем понять систему, в которой один незаметный шаг в силах повлечь за собой грандиозные и несказанные последствия?

2. Две разновидности часового механизма

«Ах, пустоголовый математик, — говорите вы. — Вы дрейфите и паникуете, как вашингтонский водитель во время снежной бури».

Я смотрю на вас, широко раскрыв глаза, как будто персонаж диснеевского мультсериала «Последний электрический рыцарь». Эй, я жажду предсказуемого мира, как и все люди на свете.

«Человеческая история не хаотична, — говорите вы. — В ней можно проследить закономерности. Народы приходят и уходят. Политические системы возникают и исчезают. Тираны восходят на престол, копят подписчиков в инстаграме и в один прекрасный день низвергаются. Все это происходило раньше, и все это произойдет снова».

Я почесываю в затылке, а потом отвечаю историей о маятнике.

На заре XVII века, когда наука впервые обратила свой четырехглазый взор на маятник, она обнаружила механизм более надежный, чем любые существующие на тот момент часы. Маятник подчинялся простому уравнению: измерьте его длину в метрах[256], извлеките квадратный корень, удвойте получившееся число, и вы получите длительность каждого цикла колебаний в секундах. Таким образом, существует связь между длиной и длительностью. Единство пространства и времени. Довольно круто.

Математики называют такие колебания «периодическими», то есть повторяющимися через определенный промежуток времени. Это напоминает однообразные волны или смену приливов и отливов.

Конечно, у маятника есть свои несовершенства (трение, сопротивление воздуха, истирание веревки), но эти бессмысленные фоновые шумы портят его надежность не больше, чем ветерок тревожит гору. К началу XX века лучшие маятниковые часы отставали за год всего на одну секунду. Вот почему и по сей день маятник — прекрасный интеллектуальный символ упорядоченной вселенной.

Но вот резкий поворот сюжета: двойной маятник[257].

Мы просто прикрепляем один маятник к другому, и они все еще подчиняются законам физики, их движение можно описать набором уравнений — так что двойной маятник должен вести себя как его двоюродный брат, верно? И все же посмотрите. Его колебания стали буйными и неравномерными. Он дергается влево, отшатывается вправо, вращается, как ветряная мельница, делает передышку, и дальше всё по новой, но иначе.

Что происходит? Ничего «случайного» в математическом смысле. Ни космических игральных костей, ни квантовых рулеток. Система основана на правилах, ею управляет гравитация. Тогда почему же двойной маятник так юродствует? Почему мы не можем предсказать его движения?

Ну, можно ответить одним словом: дело в чувствительности.

Запустите маятник из одного положения и запишите его траекторию. Затем запустите его из почти такого же положения, с отличием всего на миллиметр, и наблюдайте, как он будет двигаться по совершенно иной траектории. Технически говоря, двойной маятник чувствителен к начальным условиям. Как и в случае с погодой, крохотный сдвиг в начале может привести к существенным переменам в конце. Для того чтобы сделать правильный прогноз, вам нужно измерить его начальное положение с практически бесконечной точностью.

Итак, история напоминает вам обычный маятник или двойной?