Математика. Утрата определенности.

В нем не чувствуется плана, полностью отсутствует всякая система. Странно, что столько людей занимаются математическим анализом. Хуже всего, что в нем ничего не рассматривалось строго. В высших разделах анализа имеется лишь, несколько теорем, доказанных с более или менее приемлемой строгостью. Повсюду встречаются жалкие заключения от частного к общему. Странно, что такой способ доказательства не привел к гораздо большему числу парадоксов.

В частности, по поводу расходящихся рядов Абель писал в январе 1826 г. своему бывшему учителю Берндту Хольмбе:

Расходящиеся ряды — поистине изобретение дьявола, и основывать на них какое бы то ни было доказательство — стыд и позор. Используя их, можно прийти к любому заключению, именно потому эти ряды и породили так много логических ошибок и парадоксов… Я так болезненно реагирую на все это, потому что, за исключением геометрической прогрессии, нет ни одного бесконечного ряда, сумма которого была бы строго определена. Иначе говоря, то, что имеет наибольшее значение в математике, обосновано хуже всего. Удивительно, что многие из результатов, несмотря на все сказанное, верны. Я пытаюсь понять, в чем здесь причина. Это чрезвычайно интересный вопрос.

Как не все люди склонны топить свои печали в алкоголе, так и далеко не все математики старались заглушить свое беспокойство по поводу необоснованности математических понятий, превознося успехи математики в описании и предсказании физических явлений. Но утешение, которое эти более отважные люди искали в убеждении, что они открывают детали замысла самого творца, было сведено на нет, когда в конце XVIII в. естествоиспытатели отказались от идеи о божественном плане творения (гл. IV). Утратив столь мощную духовную поддержку, математики сочли своим долгом критически пересмотреть полученные ранее результаты — и обнаружили нечетко сформулированные понятия, отсутствие доказательств в одних случаях и неадекватность существующих доказательств в других, противоречия и полную неразбериху относительно того, что правильно и что неправильно в полученных ранее результатах. В конце XVIII в. математики осознали, что созданная ими наука отнюдь не была тем образцом строгости, каким ее считали. Вместо дедуктивных рассуждений в ней широко использовалась интуиция, геометрическая наглядность, физические соображения, принципы, взятые «с потолка» (например, принцип перманентности форм), а в качестве аргумента для обоснования принимаемого обращались к метафизике.

Идеал логической структуры, несомненно, был выяснен и провозглашен древними греками. Немногих математиков, задавшихся целью достичь его в арифметике, алгебре и анализе, поддерживала вера, что по крайней мере в одном весьма важном случае — в евклидовой геометрии — столь высокий идеал был достигнут. А если кому-то удалось однажды взойти на Олимп, считали они, то не исключено, что и другие сумеют покорить вершину. Эти математики и не предполагали, что подведение строгого обоснования под всю существующую математику окажется задачей несравненно более трудной и тонкой, чем можно было представить в середине XIX в. Не могли они предвидеть и новых трудностей, которые возникнут на их пути.

VIII

Нелогичное развитие: у врат рая

Можно сказать, что ныне достигнута абсолютная строгость.{85}

Анри Пуанкаре