Математика. Утрата определенности.

Математика достигла ныне той стадии развития, когда вопрос о том, что, собственно, надлежит считать математикой — логицизм, интуиционизм, формализм или теорию множеств, — вызывает, ожесточенные споры. Каждое течение в основаниях математики обладает тонкой структурой: разделяется на отдельные русла, состоящие в свою очередь из множества протоков. Так, интуиционисты не сходятся между собой во мнениях относительно того, что следует считать фундаментальными, интуитивно воспринимаемыми понятиями: только целые или также и некоторые иррациональные числа, закон исключенного третьего, распространяемый только на конечные или и на счетные множества, по-разному трактуемые конструктивные методы. Логицисты полагаются только на логику, но и они не избавлены от сомнений по поводу аксиом сводимости, выбора и бесконечности. Представители теоретико-множественного течения могут двигаться в любом из нескольких различных направлений в зависимости от того, принимают они аксиому выбора и гипотезу континуума или отвергают одну из этих аксиом (ибо гипотеза континуума также имеет ныне статус аксиомы!) или даже отказываются от них обеих. Даже формалисты могут выбирать путь по своему усмотрению. Выбор принципов математики для доказательства непротиворечивости не вполне однозначен. Финитистских принципов, отстаиваемых Гильбертом, оказалось недостаточно даже для доказательства исчисления предикатов (первой ступени), не говоря уже об установлении непротиворечивости формальных математических систем Гильберта. Формалистам не оставалось ничего другого, как воспользоваться нефинитистскими методами (гл. XII). Кроме того, как показал Гёдель, в рамках наложенных Гильбертом ограничений любая достаточно мощная формальная система содержит неразрешимые утверждения, т.е. утверждения, которые, базируясь на аксиомах нельзя ни доказать, ни опровергнуть; но это значит, что подобные утверждения (или их отрицания) можно принять в качестве дополнительных аксиом. Однако и после присоединения новой аксиомы расширенная система, согласно теореме Гёделя, все еще должна содержать неразрешимые утверждения. Приняв их за новые дополнительные аксиомы, мы могли бы вторично расширить формальную систему и т.д. Процесс последовательного расширения исходной формальной системы можно было бы продолжать бесконечно.

Логицисты, формалисты и представители теоретико-множественного направления полагаются на аксиоматические основания. В первые десятилетия XX в. именно аксиоматика превозносилась как наиболее подходящий фундамент для построения математики. Но теорема Гёделя утверждает, что ни одна система аксиом не охватывает всех истин, содержащихся в любой математической структуре, а теорема Левенгейма — Сколема показывает, что каждая система аксиом включает больше, чем предполагалось. Только интуиционисты могут позволить себе безразличие к проблемам, возникшим в связи с аксиоматическим подходом.

В довершение всех разногласий и неясностей по поводу того, какие основания математики считать наилучшими, над головами математиков, подобно дамоклову мечу, висит нерешенная проблема доказательства непротиворечивости всей математики. Какую бы философию ни исповедовал тот или иной математик, в своей работе он рискует натолкнуться на противоречие.

Основной вывод, который можно сделать из существования нескольких противоборствующих подходов к математике, состоит в следующем: имеется не одна, а много математик. О математике в целом, по-видимому, правильнее говорить во множественном числе (как о многих математиках), оставив единственное число для обозначения любого из подходов. Философ Джордж Сантаяна как-то сказал: «Не существует бога, и дева Мария — матерь его». Перефразируя эти слова, можно сказать: «Не существует единой, общепринятой математики, и греки — создатели ее». Широкий выбор подходов, открывающийся перед математиками, вызывает у них ощущение, близкое к тому, которое отлично передано в следующих строках Шелли:

Пред роем нескончаемымБесчисленных миров

Фантазии крылатойКружится голова.

Насколько можно судить, в ближайшем будущем нам придется обходиться без критерия, который позволял бы выбрать предпочтительный подход к собственно математике.

Примирить разные взгляды на то, что такое истинная математика (или по крайней мере в каком направлении она должна развиваться), можно надеяться лишь основываясь на прогрессе в решении тех спорных вопросов, по которым расходятся во мнениях математики разных школ. Больше всего разногласий вызывает вопрос о том, что такое математическое доказательство.