Математика. Утрата определенности.

Рассказывая о все возрастающих трудностях, с которыми приходилось сталкиваться математикам при поисках ответа на вопрос, что такое математика и что следует принять за основу при ее построении, мы обнаружили в итоге неприглядную картину. Главное утешение, которое получали математики от своей работы, — необыкновенная эффективность математики в приложениях к другим наукам — частично утратило свою силу, поскольку большинство математиков перестало заниматься приложениями. Как же воспринимают математики стоящую перед ними дилемму — вновь обратиться к приложениям или продолжить занятие чистой математикой — и что они могут ожидать от будущего? В чем сущность математики?

Попытаемся сначала проанализировать, как математика дошла до ее нынешнего бедственного положения и к чему это привело. Математики Древнего Египта и Вавилона, заложившие первые камни в фундамент своей науки, не имели ни малейшего представления о том, какое здание они возводят. Поэтому они не стали рыть глубокий котлован под фундамент, а начали закладывать его прямо на поверхности земли. В те давние времена земля казалась им достаточно прочным основанием, и материал, с которым они начали строительство, — факты о числах и геометрических фигурах — был взят из повседневного, земного опыта. Чисто земное происхождение математики нашло отражение в постоянно используемом нами термине «геометрия», что означает землемерие.

Однако когда здание математики начало расти, выяснилось, что все сооружение достаточно шатко и что, надстраивая новые этажи, можно превратить в руины и то, что было создано раньше. Греки классического периода не только заметили грозящую опасность, но и произвели необходимую реконструкцию. С этой целью они приняли две меры. Во-первых, выбрали на поверхности земли узкие полосы прочного грунта, на которых, как им казалось, не страшно возводить стены. Такими опорными полосами стали самоочевидные истины о пространстве и о целых числах. Во-вторых, греки укрепили каркас здания стальной арматурой — роль «стали» здесь играло дедуктивное доказательство каждого нового факта.

Здание античной математики — структуры, состоящей в основном из евклидовой геометрии, — оказалось вполне устойчивым. Правда, в нем обнаружился один досадный дефект. Дело в том, что длины некоторых отрезков выражаются иррациональными числами: например, длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичными катетами равна иррациональному числу √2. Ho греки признавали только обычные целые числа и их отношения; поэтому они не могли допустить существование таких величин, как √2. Греки решили возникшую проблему, попросту изгнав иррациональные числа: они отказались считать √2 «числом», а следовательно, отказались и от идеи сопоставлять любым длинам, площадям и объемам численные значения. Тем самым греки не внесли никаких дополнений в арифметику и алгебру целых чисел, которые можно было бы включить и в структуру геометрии. Правда, некоторые ученые александрийского периода (в первую очередь Архимед) производили арифметические действия над иррациональными числами, но эти результаты не были включены в канонический свод знаний, составляющих логическую структуру математики.

Индийцы и арабы возвели новые этажи здания математики, нимало не заботясь о его устойчивости. Прежде всего примерно в VI в. индийцы ввели отрицательные числа. Затем индийцы и арабы — менее привередливые, чем греки, — не только приняли иррациональные числа, но и разработали правила действий над ними.

Европейцы эпохи Возрождения, унаследовавшие математику греков, индийцев и арабов, поначалу с недоверием отнеслись к этим чужеродным элементам. Но вскоре потребности естествознания возобладали над осторожностью — европейцы поступились заботами о логической обоснованности математики.

Расширяя математику чисел, индийцы, арабы, а позднее европейцы возводили этаж за этажом: так появились комплексные числа, новые разделы алгебры, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, дифференциальная геометрия и т.д. Однако вместо «стали» древнегреческих мыслителей европейцы использовали «деревянные колонны и балки» — смесь интуитивных рассуждений и физических построений. Но деревянные опоры не выдержали нагрузки — в стенах величественного здания математики стали появляться трещины. К началу XIX в. здание математики снова оказалось в аварийном состоянии, и математики в спешном порядке принялись заменять дерево сталью.