Математика. Утрата определенности.

Людей, разделяющих подобные взгляды, часто называют платонистами. Хотя Платон и верил в то, что математика существует в некотором идеальном мире независимо от людей, его учение содержит много несовместимого с современными воззрениями; поэтому здесь апелляция к платонизму не столько помогает, сколько вводит в заблуждение.

Все утверждения о существовании объективного, единого ядра математики ничего не говорят о том, где же находится математика. Они указывают лишь, что математика существует в некотором «потустороннем» мире, своего рода воздушном замке, а человек лишь открывает ее. Аксиомы и теоремы отнюдь не только творения человеческого разума — их скорее можно сравнить с сокровищами, скрытыми в недрах, которые можно извлечь на поверхность, если запастись терпением и копать все глубже и глубже. Но существование аксиом и теорем не зависит от человека, как не зависит от него, например, существование планет.

Является ли математика коллекцией алмазов, спрятанных в недрах Вселенной и постепенно извлекаемых на поверхность, или коллекцией искусственных драгоценных камней, созданных человеком и сверкающих так ярко, что они ослепили тех математиков, кто уже отчасти был ослеплен гордостью за свои творения?

Если существует мир сверхчувственных и трансцендентально абсолютных объектов и если наши логические и математические утверждения представляют собой всего лишь записи наблюдений этих объектов, то не существуют ли противоречия и ложные утверждения в том же смысле, в каком существуют истинные утверждения? Сорные семена ложности и противоречивости могут давать столь же пышные всходы, как и семена истинные и прекрасные. Дьявол сеет свои семена и собирает жатву наряду с богом истины. Разумеется, платонисты могли бы возразить, что ложные утверждения и противоречия возникают только из-за неадекватности усилий, прилагаемых человеком для достижения истины.

Иной точки зрения (согласно которой математика — это только продукт человеческого мышления) придерживаются интуиционисты. Эта точка зрения восходит к Аристотелю. Однако если одни интуиционисты считают, что истина гарантируется разумом, то другие утверждают, что математика представляет собой не незыблемый свод непреложных знаний, а творение человеческого разума, которому свойственно ошибаться. Классическое высказывание на эту тему, появившееся задолго до современных споров, мы находим в «Мыслях» Паскаля: «Истина — слишком тонкая материя, а наши инструменты слишком тупы, чтобы ими можно было прикоснуться к истине, не повредив ее. Достигнув истины, они сминают ее и отклоняются в сторону, скорее ложную, нежели истинную».{172} По утверждению главы интуиционистов Аренда Рейтинга, в наше время никто не может говорить об истинной математике, т.е. о математике как едином своде правильных знаний.

Герман Ганкель, Рихард Дедекинд и Карл Вейерштрасс считали математику творением человека. В письме Генриху Веберу Дедекинд утверждал: «По-моему, то, что мы понимаем под числом, само по себе есть не класс, а нечто новое…. созданное нашим разумом. Мы божественная раса и обладаем… способностью творить». Ту же мысль Вейерштрасс выразил такими словами: «Истинный математик всегда поэт». Ученик Рассела философ Людвиг Виттгенштейн (1889-1951) считал, что математик — изобретатель, а не открыватель. Все эти и многие другие мыслители рассматривали математику как нечто далеко выходящее за пределы эмпирических данных или рациональных дедуктивных умозаключений. В пользу их мнения свидетельствует хотя бы тот факт, что такие элементарные понятия, как иррациональные и отрицательные числа, не являются ни дедукциями из эмпирических данных, ни объектами, заведомо существующими в некотором внешнем мире.

Герман Вейль с большой иронией относился к вечным истинам. В книге «Философия математики и естественных наук»[93]* он писал: