Математика. Утрата определенности.

Гёделю с его истовой верой в трансцендентальную логику хочется думать, что наша логическая оптика лишь немного не в фокусе, и надеяться, что после небольших коррекций мы будем видеть четко,

и тогда всякий согласится, что мы видим верно.

Но того, кто не разделяет этой веры, смущает высокая степень произвола в системе Z [Цермело] или даже в системе Гильберта… Никакой Гильберт не сможет убедить нас в непротиворечивости на вечные времена. Мы должны быть довольны, если какая-нибудь простая аксиоматическая система математики пока выдерживает проверку наших сложных математических экспериментов. Если на более поздней стадии появятся расхождения, то мы еще успеем изменить основания.

Лауреат Нобелевской премии американский физик и философ Перси Уильямс Бриджмен в своей книге «Логика современной физики» (1946) решительно отвергает существование объективного мира математики: «Это общеизвестная истина, очевидная с первого взгляда, что математика — изобретение человека». Теоретическая наука — игра математического воображения. Все, кто считал математику творением человека, утверждали также, что математика испытала на себе сильное влияние тех культур, в рамках которых она развивалась. Математические «истины» в такой же мере зависимы от людей, как восприятие цвета или английский язык. Лишь относительно широкое принятие математических доктрин — по сравнению с политическими, экономическими и религиозными — создает иллюзию, будто математика представляет собой свод истин, объективно существующих вне человека. Математика может существовать независимо от любого человека, но не от культуры, которая его окружает. Перефразируя Германа Вейля, можно сказать, что математика не отдельное техническое достижение, а неотъемлемая часть человеческого существования во всей его общности — и в этом она находит свое обоснование.

Тех, кто разделяет взгляд на математику как на творение человека, по существу, можно было бы назвать кантианцами, ибо они усматривают источник математики в организующей силе человеческого разума. Но эти современные кантианцы подчеркивают, что математика связана не с морфологией или физиологией мозга, а с его деятельностью. Разум организует, используя эволюционные методы. Творческая деятельность разума постоянно порождает все более новые, высшие формы мышления. В математике человеческий разум отчетливо видит, что он способен создать совокупность знаний, которые ему интересны или полезны. Область его созидательной деятельности не замкнута. Формулируемые разумом понятия применимы как к существующим, так и к вновь возникающим областям знания. Разум обладает способностью возводить структуры, охватывающие опытные данные и упорядочивающие их. Источник математики лежит в прогрессивном развитии самого разума.

Острые споры о природе математики и потере ею прежнего статуса свода общепринятых незыблемых истин, бесспорно, свидетельствует в пользу концепции математики, созданной человеком. Как сказал Эйнштейн, «каждый, кто осмеливается взять на себя роль судьи во всем, что касается Истины и Знания, терпит крушение под смех богов».

По иронии судьбы, мыслители Века разума, рассматривая математику как пример способности человека мыслить и получать истины, без тени сомнения утверждали, что разум разрешит все человеческие проблемы. Современные мыслители, даже если некоторые из них разделяют веру в могущество разума, заведомо не считают математику эталоном или парадигмой. Такой поворот событий не так далек от интеллектуальной катастрофы. Математика по-прежнему остается самой длительной и последовательной попыткой человека создать точное и эффективное мышление, а достижения математики по-прежнему служат мерилом того, на что способен человеческий разум. Математика устанавливает верхний предел, которого мы можем лишь надеяться достичь во всех рациональных областях. К сожалению, споры относительно того, что такое «настоящая» математика, не прекращаются. Именно поэтому Гильберт так страстно стремился восстановить истинность в смысле объективных, достоверных умозаключений. В его статье 1925 г. «О бесконечном» говорится: «Где же еще искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечки?» ([50], с. 349.)