Математика. Утрата определенности.

Это объясняется несколькими причинами. Многие математики ничего не знают о работах по основаниям математики. Стиль деятельности, выработавшийся у математиков XX в., типичен для подхода наших современников ко многим проблемам. Почти каждый математик работает в своем уголке на каком-то этаже огромного здания математики. Покуда те, кто занимается основаниями математики, копают все глубже и глубже, дабы придать зданию устойчивость, обитатели верхних этажей продолжают оставаться на своих рабочих местах и выполнять свои функции. Специалисты по основаниям математики зарылись в землю так глубоко, что их просто не видно. Работающие в здании даже не знают, что кто-то заботится о его устойчивости, и не подозревают, что оно может рухнуть. Без тени сомнения они спокойно продолжают пользоваться традиционной математикой. Пребывая в счастливом неведении о вызовах, бросаемых господствующей доктрине, они трудятся в рамках этой доктрины, не интересуясь ни ее обоснованием, ни дополнительными подкреплениями, коими может служить критерий практики. Другие математики прекрасно осведомлены о разногласиях и пробелах в основаниях математики, но предпочитают держаться в стороне от этих, как они называют, философских (в отличие от чисто математических) проблем. Таким математикам трудно поверить в существование сколько-нибудь серьезных проблем, связанных с основаниями математики, по крайней мере таких, которые касались бы их собственной деятельности. Они предпочитают оставаться верными обветшалому символу веры. Их неписаный девиз гласит: будем действовать так, словно за последние семьдесят пять лет ничего не произошло. Они говорят о доказательстве в некотором общепринятом смысле, хотя этот «зверь» не то что занесен в «Красную книгу», но просто давно вывелся, пишут и публикуют работы, словно никаких разногласий по поводу оснований математики не было и в помине. Единственное, что их интересует, — это число новых публикаций. Чем больше, тем лучше. Если «прагматики» и заботятся о надежных основаниях, то исключительно по воскресеньям, и даже в эти дни они либо возносят молитвы об отпущении грехов, либо воздерживаются от писания новых статей только для того, чтобы почитать, чем занимаются их соперники. Личное преуспевание — превыше всего, а будут ли основания математики надежными, не так уж важно.

Но разве нет власти, способной наложить запрет на массовое производство новых результатов на том основании, что, прежде чем продвигаться дальше, необходимо навести порядок в основаниях математики? Редакторы математических журналов могли бы отказаться печатать новые работы. Но редакторы и рецензенты — такие же математики и находятся в таком же положении, как и большинство их коллег — и работы, хотя бы отдаленно отвечающие требованиям строгости, т.е. требованиям начала XX в., охотно принимаются к печати и публикуются. Если король голый и придворным также нечем прикрыть наготу, то появление голого человека никого уже не удивляет и не приводит в замешательство. Как сказал однажды Лаплас, прогресс стоит человеческому разуму меньших усилий, чем познание самого себя.

Как бы то ни было, проблемы оснований отступили для многих математиков на задний план. Правда, те, кто занимается математической логикой, уделяют основаниям математики значительное внимание, но математическую логику нередко считают лежащей за пределами собственно математики.

Не следует думать, будто все математики, игнорирующие проблемы оснований и действующие так, словно этих проблем никогда не было, достойны осуждения. Некоторые из них серьезно озабочены применением математики и в подтверждение своего modus vivendi

[образа жизни] ссылаются на примеры из истории математики. Как мы уже видели (гл. V-VI), несмотря на отсутствие логических обоснований системы чисел и правил действий над ними, а также дифференциального и интегрального исчисления, по поводу чего на протяжении почти ста лет велись жаркие споры, математики продолжали использовать материал и получать новые результаты, эффективность которых не вызывала никаких сомнений. Приводимые доказательства были грубыми и даже содержали прямые ошибки. Когда обнаруживались противоречия, математики пересматривали свои рассуждения и вносили в них надлежащие изменения. Часто и исправленный вариант доказательства не был строгим даже по тем критериям, которые предъявлялись к строгости в конце XIX в. Если бы математики вздумали ждать до тех пор, пока им удастся достичь уровня строгости, они не смогли бы продвинуться ни на шаг.{178} Как заметил Эмиль Пикар, если бы Ньютон и Лейбниц знали, что непрерывные функции не обязательно должны быть дифференцируемыми, математический анализ никогда не был бы создан. В прошлом смелость и разумная осторожность приводили к наилучшим результатам.