Математика. Утрата определенности.

Надежда на применимость математики к естественным наукам (можно сказать, к эмпирическим данным) привела к результату, о котором стоит рассказать. Евклидов идеал предполагал, что, начав с аксиом, истинность которых не вызывает сомнений, мы затем станем выводить из них теоремы по раз и навсегда установленным логическим правилам, исключающим любую ошибку в рассуждениях. Полагаясь на применимость к физике, мы обращаем вспять всю концепцию математики. Если полученные на завершающем этапе заключения истинны в силу их применимости, то аксиомы по крайней мере разумны, хотя, возможно, и не единственны (могут существовать другие аксиомы, приводящие к тем же заключениям). Истинность, понимаемая как полезность (или применимость) математики, против течения не поплывет.

Лидерам различных школ в основаниях математики случалось иногда надолго отходить от собственных убеждений. Так, один из основателей интуиционизма Леопольд Кронекер получил превосходные результаты в области алгебры, никак не согласующиеся с его собственными стандартами строгости. Как заметил Пуанкаре, Кронекер предал забвению собственную философию. Брауэр, провозгласив философию интуиционизма в своей диссертации 1907 г., следующее десятилетие посвятил плодотворным исследованиям в области топологии, в которых полностью игнорировал интуиционистские доктрины.

Итогом всей этой бурной и разнообразной деятельности стал вывод о том, что правильная математика должна определяться не основаниями (каковыми бы те ни были), безошибочность которых можно и оспаривать, — о «правильности» математики следует судить по ее применимости к реальному миру. Математика — такая же эмпирическая наука, как и ньютоновская механика. Математика правильна, лишь покуда она действует, а если что-то не срабатывает, то в нее необходимо вводить надлежащие поправки. Математика не свод априорных знаний, каковой ее считали в течение более чем двух тысячелетий; она не абсолютна и не неизменна.

Но коль скоро математику надлежит рассматривать как одну из естественных наук, важно досконально представить себе, как устроены и как работают естественные науки. В любой такой науке производят наблюдения над природными явлениями или ставят специально организованные эксперименты, а затем на основании полученных результатов строят теории — движения, света, звука, теплоты, электричества, химического строения вещества и т.д. Все эти теории созданы человеком, и правильность их оценивается по соответствию сделанных на их основе предсказаний с последующими наблюдениями и экспериментами. Если предсказания подтверждаются (во всяком случае, в пределах ошибки эксперимента), то теория считается верной. Тем не менее впоследствии такая теория может быть опровергнута; поэтому ее всегда надлежит рассматривать как «полуэвристическую» теорию (где, впрочем, доли «теоретичности» и «эвристичности» могут варьироваться в весьма широких пределах), а не как абсолютную истину, входящую неотъемлемой составной частью в структуру физического мира. Мы привыкли к подобному взгляду на естественнонаучные теории, поскольку нам неоднократно приходилось быть свидетелями того, как одни естественнонаучные теории (корпускулярная теория света, флогистон, эфир, в какой-то степени даже ньютонова механика и волновая теория света Гюйгенса) опровергались и уступали место новым теориям.{175}

Единственная причина, по которой подобный взгляд не распространялся на математику, состояла, как отметил Милль, в том, что элементарная арифметика и евклидова геометрия сохраняли эффективность на протяжении многих веков и люди ошибочно приняли эту эффективность за абсолютную истинность.{176} Однако не следует упускать из виду, что любая область математики предлагает только такую теорию, которая дееспособна. Покуда она эффективна, мы можем следовать ей, но впоследствии нам, возможно, понадобится более усовершенствованный вариант теории. Математика выполняет миссию посредника между человеком и природой, между внутренним миром человека и тем, что его окружает. Математика — это отличающийся необычайной смелостью линий грандиозный мост между нами и внешним миром. Горько сознавать, что концы его не закреплены ни в реальности, ни в умах людей.