Математика. Утрата определенности.

Когда в конце средневековья и в период Возрождения европейцы — отчасти через арабов, отчасти непосредственно из сохранившихся греческих рукописей — ознакомились с существующим уровнем достижений математики, они своеобразно разрешили дилемму, возникшую в связи с разделением математики на два типа «знания». Настоящей математикой, по мнению европейцев, заведомо была только дедуктивная геометрия греков. Но в то же время они не могли и не хотели отрицать полезность и эффективность арифметики и алгебры, которые хотя и были лишены твердого логического фундамента, но уже значительно усовершенствовались по сравнению с классической древностью.

Первая проблема, с которой столкнулись европейцы, сводилась к старому вопросу о том, как следует относиться к иррациональным числам. Итальянский математик Лука Пачоли (ок. 1445-1514), немецкий монах и профессор математики в Йене Михаэль Штифель (1486(?)-1567), итальянский врач и ученый Джироламо Кардано (1501-1570) и фламандский военный инженер Симон Стевин (1548-1620) свободно использовали иррациональные числа, следуя здесь традиции индийцев и арабов, и ввели много новых типов иррациональностей. Так, Штифель оперировал с иррациональными выражениями вида  а Джироламо Кардано — с иррациональностями, содержащими кубические корни. Примером того, насколько свободно и широко европейцы использовали иррациональности, может служить выражение для числа π

, полученное Франсуа Виетом (1540-1603). Рассматривая правильные многоугольники с 4, 8, 16 и более сторонами, вписанные в окружность единичного радиуса, Виет обнаружил, что

Иррациональные числа нашли широкое применение и в связи с одним из новых достижений математики эпохи Возрождения — логарифмами. Логарифмы положительных чисел были изобретены в конце XVI в. Джоном Непером{68}

(1550-1617) для той самой цели, для которой они с тех пор и употребляются, — для ускорения арифметических вычислений. И хотя логарифмы большинства положительных чисел иррациональны (а предложенный Непером метод вычисления логарифмов основан на свободном обращении с иррациональными числами), все математики приветствовали полезное изобретение, избавившее их от излишнего труда.

Вычисления с иррациональностями производились без каких-либо затруднений, но кое-кого все же беспокоила проблема, можно ли считать иррациональные числа «настоящими». Так, Штифель в своем главном труде «Полная арифметика» (Arithmetica integra,

1544), посвященном арифметике и алгебре, вторя Евклиду, высказывал предположение, что величины (геометрическая теория Евклида) отличны от чисел; однако, следуя духу достижений своего времени, он выражал иррациональные числа в десятичной системе. Штифеля беспокоило, что для записи иррационального вдела в десятичной системе требуется бесконечно много знаков. С одной стороны, рассуждал он,

так как при доказательстве [свойств] геометрических фигур иррациональные числа заменяют рациональные всякий раз, когда те отказываются служить нам, и доказывают все то, что не могли бы доказать те… приходится признать, что они [иррациональные числа] являются истинными числами. К тому же нас вынуждают и результаты, проистекающие из их применения, которые нельзя не признать подлинными, достоверными и незыблемыми. С другой стороны, иные соображения заставляют нас отрицать, что иррациональные числа вообще являются числами. Такое сомнение подкрепляется тем, что если мы попытаемся записать иррациональные числа в десятичной форме… то обнаружим, что они непрестанно ускользают от нас и ни одно из них не удается постичь точно… Число же, которому в силу его природы недостает точности, не может быть названо истинным числом… Следовательно, подобно тому как не является числом бесконечность, иррациональное число также не является истинным числом, а как бы скрыто от нас в облаке бесконечности.