Математики, шпионы и хакеры

DINER’S CLUB

Одной из первых кредитных карт, получивших широкое признание, была карта Diner's Club. Автором идеи был американец Фрэнк Макнамара. В 1950 г. ему удалось убедить различные рестораны принимать оплату безналично с помощью персональных гарантированных кредитных карт, которые Макнамара распространил среди своих лучших клиентов. Наиболее часто в первые десятилетия кредитными картами расплачивались за обеды американские коммивояжеры, будучи в дороге.

* * *

Например, пусть карта имеет следующий номер:

1234 5678 9012 3452

По алгоритму Луна имеем:

1∙2 = 2

3∙2 = 6

5∙2 = 10 => 1 + 0 = 1

7∙2=14 => 1 + 4 = 5 (или 14-9 = 5)

9∙2 = 18 => 1 + 8 = 9

1∙2 = 2

3∙2 = 6

5∙2 = 10 => 1 + 0 = 1

Далее найдем сумму результатов и цифр на четных позициях:

2 + 6 + 1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 1 = 32

2 + 4 + 6 + 8 + 0 + 2 + 4 + 2 = 28

32 + 28 = 60

Результат равен 60, это число кратно 10. Поэтому номер карты является действительным.

Алгоритм Луна можно применить другим способом: номер карты ABCD EFGH IJKL MNOP является правильным, если удвоенная сумма цифр на нечетных позициях и сумма цифр на четных позициях плюс количество цифр на нечетных позициях, которые больше, чем 4, кратно 10. Это правило записывается так:

2 (A + C + E + G + 1 + К + М + О) + (B + D + F + H + J + L + N + P) + (количество цифр на нечетных позициях, которые больше, чем 4) = 0 (mod 10).

Применим это правило к предыдущему примеру:

1234 5678 9012 3452

2 (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 1 + 3 + 5) + (2 + 4 + 6 + 8 + 0 + 2 + 4 + 2) + (4) = 100  0 (mod 10).

Снова мы убедились, что номер кредитной карты является действительным, и показали, что на первый взгляд случайные номера карт соответствуют строгому математическому стандарту.

* * *

ПРИМЕР РАСЧЕТА КОНТРОЛЬНОЙ ЦИФРЫ КРЕДИТНОЙ КАРТЫ В EXCEL

Номер кредитной карты состоит из 15 цифр плюс контрольная цифра. Цифры сгруппированы в четыре группы по четыре цифры. Контрольная цифра (КЦ) рассчитывается следующим образом.

* * *

Можно ли восстановить цифру, отсутствующую в номере карты? Да, если мы имеем дело с действительной кредитной картой. Найдем, например, цифру X в номере 4539 4512 03X8 7356.

Начнем с умножения на 2 цифр на нечетных позициях (4–3—4—1–0—X—7–5), сразу преобразуя результат к одной цифре.

4∙2 = 8

3∙2 = 6

4∙2 = 8

1∙2 = 2

0∙2 = 0

X∙2 = 2Х

7∙2 = 14, 14 — 9 = 5

5∙2 = 10, 10 — 9 = 1.

Складывая цифры, стоящие на четных позициях, и новые цифры на нечетных, получим:

30 + 41+ 2Х = 71 + 2Х.

Мы знаем, что число (71 + 2Х) должно быть кратно 10.

Если значение X меньше или равно 4, то для таких X (71 + 2Х) никогда не будет кратно 10.

Если же значение X больше 4, то кратно 10 должно быть выражение (71 + 2Х + 1), так как X стоит на нечетной позиции. Видим, что выражение (72 + 2Х) кратно 10 только при X = 9.

Следовательно, мы нашли потерянную цифру 9, и полный номер кредитной карты: 4539451203987356.

Штрихкоды

Первая система штрихкодов была запатентована 7 октября 1952 г. американцами Норманом Вудландом и Бернардом Сильвером. Первые версии штрихкодов отличались от сегодняшних. Вместо привычных нам линий Вудланд и Сильвер придумали концентрические круги. Впервые штрихкоды начали официально использоваться в 1974 г. в магазине города Трой, штат Огайо.

Современные штрихкоды представляют собой последовательность черных полос (которые кодируются как 1 в двоичной системе) и пробелов между ними (которые кодируются как 0). Штрихкоды используются для идентификации физических объектов. Штрихкоды, как правило, печатаются на этикетках и считываются оптическими устройствами. Это устройства, похожие на сканер, которые измеряют отраженный свет и преобразуют темные и светлые области в буквенно-цифровой код, который затем посылается на компьютер. Существует множество стандартов для штрихкодов:

Толщина штрихов и пробелов в штрихкоде соответствует двоичным цифрам.

Code 128, Code 39, Codabar, EAN (этот стандарт появился в 1976 г. в двух версиях, состоящих из 8 и 13 цифр соответственно) и UPC (Universal Product Code — универсальный код товара, используемый в основном в США и доступный также в двух версиях из 12 и 8 цифр соответственно). Наиболее распространенной является 13-значная версия EAN. Несмотря на разнообразие стандартов, штрихкоды позволяют идентифицировать любой продукт в любой части мира быстро и без существенных ошибок.