Менеджмент: конспект лекций

При отсутствии согласованности экспертов естественно разбить их на группы сходных по мнению. Это можно сделать различными методами статистики объектов нечисловой природы, относящимися к кластер—анализу, предварительно введя метрику в пространство мнений экспертов. Идея американского математика Джона Кемени об аксиоматическом введении метрик (см. ниже) нашла многочисленных продолжателей. Однако методы кластер—анализа обычно являются эвристическими. В частности, невозможно с позиций статистической теории обосновать «законность» объединения двух кластеров в один. Имеется важное исключение – для независимых парных сравнений (люсианов) разработаны методы, позволяющие проверять возможность объединения кластеров как статистическую гипотезу . Это – еще один аргумент за то, чтобы рассматривать теорию люсианов как ядро математических методов экспертных оценок.

Нахождение итогового мнения комиссии экспертов. Пусть мнения комиссии экспертов или какой—то ее части признаны согласованными. Каково же итоговое (среднее, общее) мнение комиссии? Согласно идее Джона Кемени следует найти среднее мнение как решение оптимизационной задачи . А именно, надо минимизировать суммарное расстояние от кандидата в средние до мнений экспертов. Найденное таким способом среднее мнение называют «медианой Кемени».

Математическая сложность состоит в том, что мнения экспертов лежат в некотором пространстве объектов нечисловой природы. Общая теория подобного усреднения построена в ряде работ, в частности, показано, что в силу обобщения закона больших чисел среднее мнение при увеличении числа экспертов (чьи мнения независимы и одинаково распределены) приближается к некоторому пределу, который естественно назвать математическим ожиданием (случайного элемента, имеющего то же распределение, что и ответы экспертов).

В конкретных пространствах нечисловых мнений экспертов вычисление медианы Кемени может быть достаточно сложным делом. Кроме свойств пространства, велика роль конкретных метрик. Так, в пространстве ранжировок при использовании метрики, связанной с коэффициентом ранговой корреляции Кендалла, необходимо проводить достаточно сложные расчеты, в то время как применение показателя различия на основе коэффициента ранговой корреляции Спирмена приводит к упорядочению по средним рангам.

Бинарные отношения и расстояние Кемени. Как известно, бинарное отношение А на конечном множестве Q = {q 1 , q 2

,…, q k } – это подмножество декартова квадрата Q 2 = { (q m , q n ), m,n = 1,2,…,k } . При этом пара (q m

, q n ) входит в А тогда и только тогда, когда между q m и q n имеется рассматриваемое отношение. Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать матрицей || x(a, b) || из 0 и 1 порядка k x k . При этом x(a, b) = 1 тогда и только тогда, когда

a < b либо a = b . В первом случае x(b, a) = 0, а во втором x(b, a) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x(a, b) и x(b, a) равно 1.

Как использовать связь между ранжировками и матрицами? Например, из определения противоречивости пары (a, b) (см. выше, пункт о теории измерений) вытекает, что для нахождения всех таких пар можно воспользоваться матрицами, соответствующими ранжировкам. Достаточно поэлементно перемножить две матрицы || x(a,b) || и || y(a, b) ||, соответствующие двум кластеризованным ранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которых x(a,b)y(a,b)=x(b,a)y(b,a)= 0 .

В экспертных методах используют, в частности, такие бинарные отношения, как ранжировки (упорядочения, или разбиения на группы, между которыми имеется строгий порядок), отношения эквивалентности, толерантности (отношения сходства). Как следует из сказанного выше, каждое бинарное отношение А можно описать матрицей || a(i,j)

|| из 0 и 1, причем a(i,j) = 1 тогда и только тогда, когда q i и q j находятся в отношении А , и a(i,j) = 0 в противном случае.

Определение. Расстоянием Кемени между бинарными отношениями А и В, описываемыми матрицами || a(i,j) || и || b(i,j) || соответственно, называется число D (A, B) = ∑ │ a(i,j) – b(i,j) │, где суммирование производится по всем i,j от 1 до k, т. е. расстояние Кемени между бинарными отношениями равно сумме модулей разностей элементов, стоящих на одних и тех же местах в соответствующих им матрицах.