Менеджмент: конспект лекций

Легко видеть, что расстояние Кемени – это число несовпадающих элементов в матрицах || a(i,j) || и || b(i,j) ||.Расстояние Кемени основано на некоторой системе аксиом. В дальнейшем под влиянием Кемени были предложены различные системы аксиом для получения расстояний в тех или иных нужных для социально—экономических исследований пространствах, например, в пространствах множеств.

Медиана Кемени и законы больших чисел. С помощью расстояния Кемени находят итоговое мнение комиссии экспертов. Пусть А 1 , А 2 , А 3 ,…, А р – ответы р экспертов, представленные в виде бинарных отношений. Для их усреднения используют т. н. медиану Кемени Arg min ∑

D (A i ,A) , где Arg min – то или те значения А , при которых достигает минимума указанная сумма расстояний Кемени от ответов экспертов до текущей переменной А , по которой и проводится минимизация. Таким образом, ∑ D (A i ,A) = D (A 1 ,A) + D (A 2 ,A) + D (A

3 ,A) +…+ D (A р ,A) . Кроме медианы Кемени, используют среднее по Кемени, в котором вместо D (A i ,A) стоит D 2 (A i

,A) . Медиана Кемени – частный случай определения эмпирического среднего в пространствах нечисловой природы. Для нее справедлив закон больших чисел, т. е. эмпирическое среднее приближается при росте числа составляющих (т. е. р – числа слагаемых в сумме), к теоретическому среднему: Arg min ∑ D (A i ,A) → Arg min М D (A 1 , A) . Здесь М – символ математического ожидания. Предполагается, что ответы р экспертов А 1 , А 2

, А 3 ,…, А р есть основания рассматривать как независимые одинаково распределенные случайные элементы (т. е. как случайную выборку) в соответствующем пространстве произвольной природы, например, в пространстве упорядочений или отношений эквивалентности. Систематически эмпирические и теоретические средние и соответствующие законы больших чисел изучены в ряде работ.

Законы больших чисел показывают, во—первых, что медиана Кемени обладает устойчивостью по отношению к незначительному изменению состава экспертной комиссии; во—вторых, при увеличении числа экспертов она приближается к некоторому пределу. Его естественно рассматривать как истинное мнение экспертов, от которого каждый из них несколько отклонялся по случайным причинам. Рассматриваемый здесь закон больших чисел является обобщением известного в статистике «классического» закона больших чисел. Он основан на иной математической базе – теории оптимизации, в то время как «классический» закон больших чисел использует суммирование. Упорядочения и другие бинарные отношения нельзя складывать, поэтому приходится применять иную математику. Вычисление медианы Кемени – задача целочисленного программирования. В частности, для ее нахождения используется различные алгоритмы дискретной математики, в частности, основанные на методе ветвей и границ. Применяют также алгоритмы, основанные на идее случайного поиска, поскольку для каждого бинарного отношения нетрудно найти множество его соседей.

Метод медиан рангов. Значит, итог расчетов – ранжировка (3), и на ее основе предстоит принимать решение? Но тут наиболее знакомый с современной эконометрикой член Правления вспомнил, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале, а потому для них неправомерно проводить усреднение методом средних арифметических. Надо использовать метод медиан. Что это значит? Надо взять ответы экспертов, соответствующие одному из проектов, например, проекту Д. Это ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Затем их надо расположить в порядке неубывания (проще было бы сказать – «в порядке возрастания», но поскольку некоторые ответы совпадают, то приходится использовать непривычный термин «неубывание»). Получим последовательность: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах – шестом и седьмом – стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.

Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл.2 (при этом медианы вычислены по обычным правилам статистики – как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда). Итоговое упорядочение по методу медиан приведено в последней строке таблицы. Ранжировка (т. е. упорядочение – итоговое мнение комиссии экспертов) по медианам имеет вид:

Б < {М-К, Л} < Сол < Д < Стеф < К <Г-Б . (4)

Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т. е. с точки зрения математической статистики ранжировка (4) имеет одну связь.