Мои воспоминания

Динамика систем точек начинается с обстоятельного разбора тех условий, которые излагаются удерживающими и неудерживающими связями на скорости и ускорении точек системы; случай неудерживающих связей рассмотрен при этом гораздо подробнее, нежели это обычно делается. Составив уравнения движения всякой системы и объяснив начало Д'Аламбера, Александр Михайлович подробно останавливается на рассмотрении первой лагранжевой формы дифференциальных уравнений движения и доказывает в совершенно общем виде, что эти уравнения, по исключении из них проекций ускорений, пользуясь уравнениями связей, всегда разрешимы относительно лагранжевых множителей. По выяснении понятия об интегралах системы выводятся законы сохранения движения центра инерции, площадей и живой силы для свободной системы точек как в абсолютном их движении, так и в относительном по отношению к центру инерции. Как пример сперва рассматривается задача двух тел, притягивающихся по закону Ньютона, затем составляются дифференциальные уравнения движения для случая (л + 1) точки и находятся их известные 10 интегралов. В заключение отдела о движении свободной системы рассматривается случай системы точек, притягивающихся или отталкивающихся пропорционально расстоянию.

Следующий отдел заключает подробное аналитическое установление необходимых и достаточных условий, при которых для несвободной системы имеют место законы движения центра инерции, площадей и живой силы, после чего дается строгое доказательство Дирихле критерия устойчивости или неустойчивости положения равновесия какой угодно системы и поясняется примером.

Далее излагается начало наименьшего действия и начала Гамильтона, на основании которого выводятся уравнения движения во второй лагранжевой форме и в каноническом виде доказываются свойства символа Пуассона и теорема Якоби.

Следующим отделом служит учение о движении неизменяемой системы. По получении общих выражений живой силы и моментов количества движения для такой системы исследуются свойства моментов инерции, эллипсоида инерции и гирационного эллипсоида, после чего на основании законов движения центра инерции и уравнений моментов составляются дифференциальные уравнения движения твердого тела. Примерами такого движения служат физический маятник, вращение по инерции твердого тела, имеющего неподвижную точку, причем дается как геометрическое исследование Пуансо, так и аналитическое при помощи эллиптических функций, пользуясь лишь самыми их элементарными свойствами, тут же доказываемыми.

Последним отделом курса является учение «О действии мгновенных сил», развитое с гораздо большею подробностью и полнотою, нежели это обычно делается. Вопрос вначале поставлен так: дана система точек, подчиненных данным удерживающим связям, требуется определить движение, сообщаемое системе данными импульсами. Вопрос этот решается в первой лагранжевой форме, после чего показывается, как вся совокупность полученных уравнений может быть заменена одним вариационным уравнением. Затем выводятся теоремы Бертрана и Томсона и, в отличие от многих курсов, не оставляются без применений, а, напротив, служат средством для решения ряда примеров общего характера, в которых требуется определить или движение, сообщаемое системе или твердому телу данными импульсами, или наоборот. Вопрос о движении твердого тела рассмотрен особенно подробно, причем выведены общие условия, при которых данное винтовое движение тела может быть сообщено одним импульсом; отсюда как частный случай получается решение вопроса о сообщении данного вращательного движения и о центре удара. По рассмотрении вопроса об ударе двух упругих шаров решается в общем виде задача о так называемом ударе о связь и выводится общее выражение потери живой силы при этом. В заключение решается вопрос, обратный предыдущему, т. е. о внезапном уничтожении одной из связей системы и происходящем при этом увеличении живой силы.

Другие два курса Александра Михайловича – «Теория притяжения»

и «Основания теории деформируемых тел и гидростатики» тесно соприкасаются с его собственными изысканиями в этой области, поэтому при такой же сжатости изложения, как и вышеприведенные, они заключают еще большее число вполне оригинальных, принадлежащих Александру Михайловичу доказательств и выводов теорем, хотя и известных ранее, но доказательства которых Александр Михайлович не считал достаточно строгими, как, например, относительно условий устойчивости равновесия плавающих тел или основных свойств потенциальной функции и начала Дирихле; я не буду утомлять вашего внимания перечнем содержания этих курсов и особенностей их изложения, так как об этом уже упоминал академик В. А. Стеклов.