Начала современного естествознания: концепции и принципы

В самом деле, так как в математических теориях используются весьма абстрактные понятия, не имеющие никаких конкретных прообразов в реальном мире, то роль практики как критерия истины, как соответствия действительности, весьма незначительна. В этом случае практика принимается, прежде всего, как критерий полезности этих теорий — она становится критерием их эффективности, действенности, результативности.

К пониманию того, что этот критерий фактически устанавливает не столько истинность математических теорий, сколько их полезность, как орудий познания, пришли многие математики. Хаскелл Карри, например, в 1963 году писал: «До какой степени абсолютная надежность присуща математике? Поиск абсолютной надежности был основной мотивировкой для концепции Брауэра (основатель в математике интуиционизма. — Авт.) и Гильберта. Но нужна ли математике для своего оправдания абсолютная надежность? Зачем, скажем, нам так уж нужно быть уверенным в непротиворечивости теорий? Ведь ни к какой другой науке мы не предъявляем таких требований. В физике, например, теории всегда гипотетичны; мы принимаем теорию, коль скоро на ее основе можно сделать полезные предсказания, и видоизменяем или опровергаем ее, коль скоро этого сделать нельзя. Именно так происходит и с математическими теориями. Мы принимаем теорию, коль скоро она нам полезна, удовлетворяет некоторым условиям естественности и простоты, разумным для своего времени, и коль скоро известно, что эта теория не введет нас в заблуждение. Мы должны держать наши теории под постоянным наблюдением, чтобы видеть, что эти условия выполнены. Поскольку же оценка полезности теории зависит от ее назначения, можно для различных целей принимать по-разному построенные теории, так что интуиционистская и классическая математики могут существовать».

Об этом же в 1970 году писал русский математик, академик Александр Александров (1912–1999), который указывал, что «…математика сама по себе не может быть ни истинной, ни ложной. Математические теории — это орудия познания, и спрашивать об их истинности бессмысленно, как об истинности трактора».

Эффективность, а не истинность — вот что нужно человеку от математических теорий. Что же касается веры в особую достоверность математического знания, веры в истинность математических теорий, то это всего лишь иллюзия, порожденная, с одной стороны, эффективностью математического знания в приложениях, а с другой — интуитивным ощущением, что эти теории правильные.

Какую бы математическую теорию мы ни рассматривали, необходимое условие ее истинности, полезности, как орудия познания, заключается в том, чтобы эта теория была непротиворечива. Доказать непротиворечивость нельзя, но получить косвенные доводы, подкрепляющие нашу веру в непротиворечивость теории, — это дело вполне реальное, и достигается оно посредством практики, понимаемой в самом широком смысле этого слова. Причина непротиворечивости арифметики лежит вне математики, в самой математике эта непротиворечивость остается тайной.

Обобщая, можно отметить, что взгляды на математику характеризуются следующими установками, идеями, принципами:

1. Развитие математики невозможно без исследования математикой самой себя.

2. Одним из важных аспектов математических исследований является вопрос о границах вычислительных и конструктивных возможностей логико-математических языков.

3. Математика по своей природе является псевдоэмпирической наукой. Математическая реальность не существует априорно, а создается интуицией.

4. Практическое значение математических теорий состоит в том, что они являются орудиями познания и с успехом используются в прикладных науках. Именно поэтому математику часто называют языком естествознания. Но сама математическая реальность — это результат чрезвычайно абстрактных умозрительных построений, весьма далеких от действительности. Познание объективной реальности идет через абстрактное к конкретному. Поэтому возникновение умозрительных построений — не случайность, а вполне закономерная особенность процесса познания. Познание — это отражение действительности с помощью предугаданной абстрактной схемы.

5. Философским и методологическим фундаментом современной математики может быть только теория по знания (гносеология). Только с позиции этой теории может быть осуществлен действительно объективный и подлинно научный анализ природы математики и математической истины.

13.3. Непостижимая эффективность математики

Нельзя не признать, что полного соответствия между математикой и физической реальностью не существует. Однако немалые успехи математики в описании физически реальных явлений — будь то электромагнитные волны, эффекты, предсказанные теорией относительности, математическая интерпретация того немногого, что доступно наблюдению на атомном уровне, и даже в свое время ньютоновская теория тяготения, — все требует какого-то объяснения.