Настольная игра «Футбол на бумаге»

Перед тобой дилемма – выбирать матч, состоящий из одной или из двух партий. Очевидно, что более надёжный вариант – это две партии, поскольку даже если ты проиграешь в первой партии – возможно тебе удастся отыграться во второй и свести матч вничью. Но, если тебе в силу тех или иных обстоятельств нужна только победа, конечно лучше играть одну партию. Таким образом, здесь всё зависит от твоей цели.

2). Знаешь ли ты свои шансы на победу в одной партии.

3). Если знаешь то каковы они (меньше или больше, чем у противника, или равны).

1. Допустим, что ты знаешь свои шансы на победу в отдельной партии:

-Н₁(n) – вероятность не проиграть в матче, состоящем из n партий, для первого игрока

-Н₂(n) – вероятность не проиграть в матче, состоящем из n партий, для второго игрока

-В₁(n) – вероятность выиграть в матче, состоящем из n партий, для первого игрока

-В₂(n) – вероятность выиграть в матче, состоящем из n партий, для второго игрока

-Д(n) – вероятность того, что игроки сыграют в ничью матч из n партий (n – всегда чётное)

1.1. Вероятность того, что матч выиграет один из игроков или он закончится в ничью (если это чётный матч) равна 1. Пускай в нашем небольшом исследовании 1 будет равна 729 (3⁶) шансам.

Допустим, что: Н₁(1)=В₁(1)=1/3; тогда Н₂(1)=В₂(1)=2/3. Т.е. вероятность выиграть для первого игрока в одной партии равна 243 шансам, для второго – 486 шансам. Тогда:

Выводы из таблиц 1 и 2:

1). Шансов выиграть в нечётном матче из n партий больше, чем в чётном из (n+1) партий;

2). Шансы на выигрыш у более слабого игрока с увеличением количества партий «тают на глазах», а у более сильного игрока наоборот возрастают;

3). Шансов не проиграть в чётном матче из n партий больше, чем в нечётном из (n-1) партий;

4). Шансы на непроигрыш у более слабого игрока с увеличением количества партий также становятся меньше, а у более сильного игрока возрастают.

1.2. Допустим, что: Н₁(1)=В₁(1)=Н₂(1)=В₂(1)=1/2. Т.е. шансы игроков на выигрыш в отдельной партии равны.

1.2.1. Для нечётного матча (n – нечётное число):

1=В₁(n)+В₂(n), т.к. В₁(1)=В₂(1), тогда и В₁(n)=В₂(n)=1/2; т.е. вероятность выиграть у каждого из игроков в нечётном матче постоянна и равна 1/2.

1.2.2. Для чётного матча (n – чётное число):

1= В₁(n)+В₂(n)+Д(n), т.к. В₁(1)=В₂(1), тогда и В₁(n)=В₂(n)=Х

1=Х+Х+Д(n)=2Х+Д(n)

2Х=1-Д(n)

Х=(1-Д(n))/2=1/2-Д(n)/2

Х<1/2

В₁(n),В₂(n)<1/2; т.е. вероятность выиграть у каждого из игроков в чётном матче меньше 1/2.

Х+Д(n)=1-Х, т.к. Х<1/2, то Х+Д(n)>1/2; т.е. вероятность не проиграть у каждого из игроков в чётном матче больше 1/2.

Однако вероятности выигрыша и непроигрыша непостоянны. Вероятность сыграть в ничью с увеличением количества партий уменьшается, следовательно, вероятность выигрыша увеличивается, а непроигрыша уменьшается. Обе эти величины стремятся к 1/2. Т.е. больше всего шансов не проиграть у игроков в матче из двух партий:

Н₁(2)= Н₂(2)=3/4

2. Допустим, что ты не знаешь свои шансы на победу в отдельной партии:

2.1. Если хочешь играть на победу – тебе нужен нечётный матч, состоящий из как можно меньшего количества партий. Оптимальный вариант – матч из одной партии. Объясняется это очень просто: т.к. ты не знаешь своих шансов, то они могут оказаться меньше, чем у противника, и, выбирая «длинный» матч, ты только усугубишь своё положение. Если же твои шансы больше или равны – то они такими и останутся.

2.2. Если хочешь играть на непоражение – тебе нужен чётный матч, состоящий из как можно меньшего количества партий. Оптимальный вариант – матч из двух партий.

Теперь можно подвести общий итог:

1). Если хочешь не проиграть – тебе нужен чётный матч:

1.1. Если знаешь свои шансы:

1.1.1. Играешь сильнее – чем больше партий, тем лучше.

1.1.2. Играешь слабее или на равных – чем меньше партий, тем лучше. Оптимальный вариант – матч из двух партий.

1.2. Если не знаешь свои шансы – чем меньше партий, тем лучше. Оптимальный вариант – матч из двух партий.

2). Если хочешь выиграть – тебе нужен нечётный матч: