Невероятно – не факт

В своей очень интересной статье, посвящённой мифотворчеству Томаса Манна, Станислав Лем показывает, что непонимание законов случая лежит в основе многих мифов. Лем приводит характерный пример. Жители одной африканской страны верят в то, что львы делятся на две категории: на львов, которые просто львы, и на львов, в которых переселились души умерших людей. Обыкновенные львы кушают людей, а львы с человеческой душой не питаются своими духовными родственниками.

Таким образом случайность изгоняется, и трапезы львов получают своё истолкование. К сожалению, миф не даёт нам возможности заранее узнать, с каким львом мы имеем дело; его категория выясняется лишь после его обеда.

Понимание законов вероятности ставит все на свои места и является важнейшим оружием против мифов, против религии, против фатализма.

С одной стороны, нельзя и не надо искать объяснения случайным событиям, вероятность которых хотя и мала, но вполне разумна. Скажем, очень соблазнительно приписать всесильности материнской любви чудесное избавление от гибели её ребёнка. Ребёнок играл под балконом, мать отозвала его, а через пять секунд от карниза оторвался огромный кусок штукатурки и упал на то самое место, где играло дитя. Так и хочется сказать, что «Сердце матери – вещун», или «Материнская любовь – большая сила», или «Бог не допустил гибели невинного младенчика» и т.д. и т.п. Но происшедшее не нуждается в таких ремарках, ибо вероятность события вполне приемлема и иного объяснения не требует.

С другой – владение законами вероятности позволяет с уверенностью отнести определённый класс событий к невозможным. И если большое число случайных линий все же пересеклось, вероятность события ничтожно мала, а невозможное событие все же совершилось, то, значит, не «что-то в этом есть», а «что-то здесь не так!».

Математик спешит на свидание

– Ты не забыл, что завтра мы идём в консерваторию?

– Ну конечно, нет.

– Заедешь за мной?

– Дел невпроворот. Давай мне билет, я приду один.

– Вот так всегда. Опять подруги надо мной посмеются. Завела, скажут, кавалера, который с тобою и показаться не желает.

– Ну ладно, давай встретимся. Где?

– У входа в продуктовый, что поближе к Никитским воротам.

– Так это на другой стороне улицы.

– Конечно. Мне не хочется, чтобы видели, как я тебя жду.

– Неизвестно, кто кого будет ждать… Но знаешь, завтра мне и правда время рассчитать трудно. От 18.00 до 19.00 я буду на месте как штык, а точнее – не скажу.

– Выходит, я час тебя буду ждать?

– Я и говорю: встретимся на месте.

– Не хочу.

– Тогда предлагаю компромиссное решение. Оба приходим между 17.40 и 18.40. И ждём не более двадцати минут.

– А если ты придёшь в 18.00, а я в 18.30?

– Значит, я буду уже в зале.

– Да так мы никогда не встретимся на улице.

– Вероятность встречи довольно значительная. Хочешь, подсчитаю?

– Да не берись за карандаш, горе ты моё. И надо было влюбиться в математика…

Я, конечно, был бы рад продолжить рассказ о радостях и горестях влюблённых математика и девушки, далёкой от чисел и интегралов. Тут бездна интересных психологических моментов. Но увы! Тема книги вынуждает вернуться к «сухой» науке.

Как же действительно подсчитать вероятность встречи математика с его любимой? Мы уже выяснили, что вероятность – это отношение числа благоприятных случаев к общему числу событий. А здесь как быть? Ведь встреча может состояться или не состояться в любой момент часового интервала.

Благоприятным исходом рассматриваемой задачи является мгновение встречи. Но мгновений бесконечно много. Ведь часовой интервал я могу разбить на минуты, на секунды и даже на микросекунды. Значит, здесь бесконечное число исходов, а не два, как в опыте с монетой, и не шесть, как в опыте с кубиком (игральной костью). Как же определяются вероятности в задачах такого рода? Оказывается, геометрическим путём. А поскольку геометрия требует наглядности, нам придётся прибегнуть к нехитрому рисунку.

Отложим по горизонтали время прибытия девушки на свидание. На вертикальной прямой отметим минуты появления нашего героя. Если бы не было условия – ждать не более двадцати минут, то встреча могла бы произойти в любой точке квадрата, обнимающего часовые ожидания. При наличии же дополнительного условия моменты встречи попадут в заштрихованную область. Пожалуйста, проверяйте.

Девушка пришла без двадцати шесть. Встреча состоится, если кавалер явится до шести. Этому соответствует первый отрезок.

Девушка пришла в 18.00. Встреча состоится, если кавалер явится от 17.40 до 18.20. Такой встречи соответствует второй отрезок, построенный на рисунке.

Если девушка пришла в 18.20, то встреча состоится при условии, если математик явится к продуктовому магазину между 18.00 часами и крайним сроком – 18.40. Вот вам третий отрезок.

Теперь ещё одна точка, и заштрихованная область будет готова: девушка успела прибежать на свидание в 18.40. Она застанет своего возлюбленного, если он явился не раньше 18.20.