Николай Александрович Васильев (1880—1940)

Неклассические логики могут строиться с целью расширить дедуктивные и выразительные возможности классической логики. Модальные логики, языки которых оснащены специальными операторами для выражения категорий возможности, необходимости, долженствования, запрещения, временного порядка и т. д., дополняют классическую логику. Неклассические логики также строятся как альтернативные системы к классическим — системы, например, свободные от тех или иных основополагающих принципов и (или) норм доказательности, которые присущи классическим системам и в справедливости которых ученые могли усомниться в процессе своей исследовательской практики. Альтернативные логики по замыслу их сторонников призваны превзойти в тех или иных отношениях классические или даже заменить их. Такого рода логиками являются интуиционистские, релевантные и паранепротиворечивые логики [55, с. 115].

Релевантные логики совершенствуют классическое понятие логического следования, главная особенность которого состоит в требовании истинности заключения при данных истинных посылках. Релевантное понятие логического следования прибавляет к этому требованию еще требование связи посылок и заключения по содержанию. Поэтому в релевантных логиках удается избежать парадокса материальной импликации (подробнее о релевантных логиках см.: [85]).

Интуиционистская (а также близкородственная ей конструктивистская) логика строится путем отказа от ряда важнейших положений классической логики — закона исключенного третьего и снятия двойного отрицания. Отвергая ряд коренных абстракций классической математики и логики, интуиционистская логика ориентирована на проведение алгоритмических процедур, свойственных точному конструктивному рассуждению" [52].

Паранепротиворечивые логики, пожалуй, самый необычный, даже можно с уверенностью сказать — революционный, класс логик. Революционный потому, что в них отвергается стержневой принцип классической логики, математики и классической науки в целом — принцип непротиворечивости теоретических систем, закрепленный в законе противоречия, прерогатива формулировки которого принадлежит аристотелевой логике (см.: [44]). Недопустимость двух утверждений в рамках одной системы, одно из которых является отрицанием другого, — даже не идеал, а норма любой, включая прежде всего, конечно, логику и математику, классической системы знания (и, строго говоря, некоторых относимых к неклассическим, например интуиционистских, теорий). Если система противоречива, to она тривиальна, т. е. в ней всякая формула является теоремой, в ней выводимо «все что угодно» — вот логико-методологическая установка классической науки, положение аристотелевой логики, которое образно можно назвать хребтом (основой) ее сложного организма. Действительно, для классических систем свойства противоречивости и тривиальности совпадают и, стало быть, противоречивые системы автоматически выталкиваются за пределы классической науки, чтобы быть при необходимости переформулированными в непротиворечивом виде. Так, противоречивой была (наивная) теория множеств Г. Кантора, но известные аксиоматики теории множеств (Цермело-Френкеля, Геделя и т. д.) уже, надо думать, непротиворечивы^{3}.

В 1950—1960 гг. выяснилось, что вполне возможно создание противоречивых, но в то же время нетривиальных систем, таких систем, в которых допустимы противоречивые теоремы, выраженные в форме закона противоречия. Они были названы паранепротиворечивыми (1976 г.).

Эти системы, крайне необычные с точки зрения общепринятой в течение многих столетий нормы непротиворечивости знания, требуют радикальной модификации методов логического и математического рассуждений. Исследование паранепротиворечивых логических и математических систем только начинается, но уже сейчас достаточно уверенно можно сказать, что они окажут значительно большее воздействие на всю архитектуру математики и применяемые в ней методы, а впоследствии, вероятно, и на все математическое естествознание, нежели то, которое можно было бы ожидать со стороны пусть качественно новой логики, но исходящей из того же самого (что и другие формальные системы) концептуального требования непротиворечивости. Уже в настоящее время, например, ясно, что в области паранепротиворечивых логик — логик, толерантных к противоречию, — должны быть пересмотрены стандартные методы доказательства таких фундаментальных результатов, как теоремы Геделя о неполноте и о непротиворечивости (непременным условием которых является непротиворечивость формальной системы), и не исключено, что должен быть пересмотрен даже смысл этих теорем (см.: [107, с. 161).