Николай Александрович Васильев (1880—1940)

История возрождения идей воображаемой логики Н. А. Васильева где-то напоминает нарисованную картину: несмотря на то что работы Н. А. Васильева вошли в знаменитую библиографию по символической логике А. Черча, помещенную в ведущем логико-математическом журнале в 1936—1938 гг.^{5}, идеи и концепция Васильева в целом стали приобретать признание с появления статьи В. А. Смирнова [88], ее реферата в крупнейшем международном логическом журнале и статьи Дж. Клайна [1051 (см. также: [99, с. 3]). Дж. Клайн объявил Н. А. Васильева родоначальником многозначной логики, и его мнение было поддержано таким авторитетным логиком, как Н. Решер [108], и таким историком науки, как М. Джаммер [104].

Действительно, к классам утвердительных и отрицательных по качеству суждений Н. А. Васильев добавляет в своей воображаемой логике новый класс — индифферентных (аналог акцидентальных в логике понятий). Принцип двузначности суждений довлел над умами математиков в течение нескольких тысячелетий. Поскольку всякий концепт истинностного значения принято считать суждением независимо от того, несет ли он смысл какого-либо предложения (см.: [97, с. 32]), то набор истинностных значений, состоящий лишь из двух значений — «истинно» или «ложно», введением индифферентного суждения, по сути дела, расширяется до третьего («колебание между утвердительным и отрицательным суждениями»). Понятно, что введение нового класса суждений было сопряжено с существенным пересмотром многих логических принципов, а также природы законов логики (см.: [40]).

Академик А. И. Мальцев писал, что, хотя в России до Великой Октябрьской социалистической революции не имелось устойчивых алгебраических школ, в нашей стране был выполнен ряд «первоклассных алгебраических исследований, оставивших большой след в истории математики. В первую очередь мы хотим здесь отметить замечательные работы Е. И. Золотораева, Е. С. Федорова, Ф. Э. Молина, а также Н. А. Васильева» [71, с. 473]. А. И. Мальцев разъяснил, какие моменты исследований Н. А. Васильева представляют особую ценность в связи с развитием и современным состоянием математической логики. «Некоторые разделы современной алгебры, — указывал он, — посвящены изучению алгебраических структур, возникших в математической логике. Работа этого рода в России была начата в Казанском университете. . . Здесь Платон Сергеевич Порецкий. . . прочитал в 1887/88 г. первый в нашей стране курс математической логики. . . Уже после смерти П. С. Порецкого Казанский университет снова стал родиной яркой новой идеи — идеи многозначных логик, выдвинутой Н. А. Васильевым. . . Логика Васильева была вариантом трехзначной логики, хотя и без достаточно разработанной ее "алгебры”. Это дает Н. А. Васильеву почетное место в истории науки в ряду основателей многозначных логик» [71, с. 474—475]. Добавим, что Н. А. Васильев не ограничивался признанием возможности одной только трехзначной логики. Согласно Васильеву, допустимо «какое угодно число качественно различных суждений», т. е. мыслимы k-значные логики. Первые формализованные системы многозначной (а точнее — трехзначной) логики были построены десять лет спустя после выхода работ Васильева Я. Лукасевичем и Э. Постом.

Введение нового класса индифферентных суждений сопровождалось у Н. А. Васильева последовательной и обстоятельной критикой закона исключенного третьего, непосредственно связанного с отказом от принципа двузначности логических суждений, причем им различаются «определенно-числовые суждения» от «неопределенно-числовых суждений». Это придает его работам содержание, которое справедливо расценивается как предвосхищение ряда положений не только интуиционистской, но и конструктивной логики [92]. Как раз на это содержание обратил внимание академик Н. Н. Лузин. Критика закона исключенного третьего проводилась Н. А. Васильевым почти одновременно с родоначальником интуиционизма Л. Э. Я. Брауэром и уж, разумеется, совершенно независимо от него. Однако идеи Брауэра в дальнейшем имели более счастливую судьбу.

А. И. Мальцев, естественно, не мог быть информирован о том, что начаты исследования формальных систем, толерантных к противоречию, известных ныне как паранепротиворечивые. А между тем, по мнению Н. А. Васильева, воображаемая логика представляла собой именно такую систему. «Возможно, еще с большим основанием, чем в случае многозначных логик, Н. А. Васильев может считаться предшественником неклассических логик, построенных для исследования противоречивых, но нетривиальных теорий», — подчеркивала Аида Арруда, активно пропагандировавшая идеи Н. А. Васильева и внесшая крупный вклад в развитие паранепротиворечивых логик [99, с. 4] (см. также: [107, с. 5]).