Николай Александрович Васильев (1880—1940)

2. Под новыми течениями в математике Н. Н. Лузин понимает интуиционизм, который ставил своей целью перестройку математики в свете отказа от абстракции актуальной бесконечности, закона исключенного третьего и метода доказательства от противного [52], а также эффективизм, выступавший за пересмотр основных теоретико-множественных понятий и принципов с позиций их возможной «эффективной» осуществимости. Н. Н. Лузин являлся ярким представителем эффективизма — направления, в каком-то смысле близкого к интуиционизму по техническим решениям (а позже — и к конструктивизму), но в отличие от последних не отказывающемуся от классической математики вообще, а лишь настаивающему на переосмыслении ее концептуального содержания на базе соответствующих «приемлемых» принципов» [77].

3. В классической математике принималась (была «привычной») абстракция актуальной бесконечности, которая заключается в отвлечении от принципиальной незавершенности потенциально неограниченно продолжающихся процессов [76].

4. Считалось, что традиционная, классическая логика абстрагирована от свойств, присущих конечным множествам.

5. Имеется в виду интуиционистская логика, которая отражает взгляд интуиционизма на природу математических рассуждений. В ней отсутствуют законы исключенного третьего, снятия двойного отрицания и соответственно отвергаются методы доказательства от противного. Впервые сформулирована А. Гейтингом в 1930 г.

6. Брауэр Л. Э. Я. (1881—1966) — видный голландский математик. Получил важные результаты в области топологии, основатель интуиционистского направления в математике.

7. Гильберт Д. (1862—1943) — выдающийся немецкий математик. Н. Н. Лузин, видимо, ошибочно ставит Д. Гильберта в ряд с другими интуиционистами. Более того, Гильберт резко возражал интуиционизму, например, по вопросу, имеющему ключевое значение, — об отказе от закона исключенного третьего [63]. Перестройку оснований математики Гильберт осуществлял с помощью финитного метода, который, однако, в каком- то смысле был по духу близок интуиционистскому пониманию допустимых методов в математике. Вероятно, именно это обстоятельство и послужило основанием для упоминания Н. Н. Лузиным имени Д. Гильберта.

8. Вейль Г. (1885—1955) — известный немецкий математик и физик, видный представитель интуиционизма.

9. Борелъ Э. (1871—1956) — известный французский математик, который проповедовал взгляды в духе эффективизма.

10. Как сейчас ясно, в работах Н. А. Васильева содержатся идеи, предвосхищающие не только интуиционистскую логику, но также многозначную и паранепротиворечивую логику.

11. Мотивы написания «Отзыва» не совсем очевидны. Можно предполагать, что он был дан в связи с намерением издать сборник работ Н. А. Васильева. Не исключено, что Н. Н. Лузин познакомился с работами Н. А. Васильева благодаря А. В. Васильеву.

Из стихотворений Н. А. Васильева

* * *

Мерило истины — мгновенье,

Все изменяется, течет. . .

Нет бытия, а есть волненье,

Есть неутихнувший полет.

Нет бытия, и Бесконечность —

Большая глупая спираль. . .

Нет бытия, и даже Вечность

Для нас — пустующая даль.

Все постоянное родится,

Все бытие — волны игра,

Что страстно хочет испариться;

А новость каждая стара.

Мелькает ложь, обман и правда

Сквозь этот вьющийся туман:

Обман — исчезнувшая правда,

А правда — длящийся обман.

* * *

Можно женщину пылко и страстно любить

В затаенных глазах настроение пить.

Так глубоко ее презирая,

Ради блеска очей, ради странных речей,

Ради тихого шороха платья,

За волос аромат, за вползающий взгляд,

За томящую цепкость объятья.

Можно Истину пылко и страстно любить

И исканию Истины жизнь посвятить,

Так глубоко ее презирая,

И безумно желать уловить, разгадать

Неотвязно манящую тайну,

Разгадать темноту, уловить пустоту

Там, где все неразумно, случайно.

Можно жизнь, неприглядную жизнь полюбить

И с какой-то отчаянной жаждою жить,

Так глубоко ее презирая,

За восторг перемен, за властительный плен

Быстротающих жгучих волнений,

За иронии блеск и гармонии всплеск,