Ньютон. Закон всемирного тяготения

Прямая (секущая) и кривая могут пересекаться в нескольких точках. Математически интересный случай – когда прямая касается кривой только в одной точке Р. Эта секущая будет называться касательной, а Р – точкой касания. Для случая с кривой у = ƒ (х) определим две точки α и α + h (h – произвольное значение), как показано на рисунке. Когда функция принимает значение ƒ (α), кривая пересекается двумя прямыми: секущей (S) и касательной (7). Секущая снова пересекает кривую в точке Q, которая соответствует значению ƒ (α + h).

Рассмотрим теперь углы: α, образованный секущей с осью ординат; и β, образованный касательной с той же осью. По мере того как а уменьшается и приближается к β, прямая S все больше приближается к Т. Этот процесс эквивалентен процессу уменьшения разницы между α и α + h, из-за чего по мере того, как h стремится к 0, наклон прямой S все больше приближается к наклону прямой Т. В пределе этого сближения наклон обеих прямых будет одинаковым и связанным с производной f в точке α. Так доказывается, что значение производной функции в точке – то же, что наклон касательной к этой функции в указанной точке. Математически это выглядит так:

КАВАЛЬЕРИ И РОЖДЕНИЕ ЗНАКА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Итальянский иезуит Бонавентура Кавальери (1598-1647) придумал метод определения площадей и объемов и описал его в трудах «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» (Geome- tria indivisibilibus) (1635) и «Геометрические этюды» (Exercitationes geometricae) (1647). Кавальери предложил разложить геометрические величины на бесконечное количество элементов, или неделимых, которые представляют собой последние возможные значения этого разложения.

Затем он решил представить объемы, поверхности и длины в виде бесконечной суммы неделимых. Британец Джон Валлис (1616-1703), член-основатель Королевского общества, которого можно считать прямым предшественником Ньютона и Лейбница, перевел на арифметическую основу метод неделимых Кавальери и присвоил им числовые значения, превратив таким образом анализ площадей (до того момента исключительно геометрический) в арифметический анализ. В трактате «О конических сечениях» (De sectionibus conicus) (1655) Валлис предложил представить бесконечность при помощи символа oo.

Ньютон и Лейбниц поняли, что за всеми этими внешне разными процессами стоят одни и те же фундаментальные понятия, и связали их в единое целое. Кроме того, ученые разработали несколько общих алгоритмических методов для анализа и решения самых разных задач, среди них – вычисление степеней биномов. Ньютон разработал понятие флюксий – сходное с понятием производной – и показал, что, например, чтобы рассчитать площадь, очерченную кривой, достаточно посчитать флюенту (ньютоновский аналог современных функций), то есть, другими словами, найти интеграл.