Ньютон. Закон всемирного тяготения

Понятие интеграла гораздо более объемное, чем понятие площади. В математике его можно использовать, чтобы рассчитывать объем, длину или центр тяжести, а в физике он соответствует понятию работы: работа, необходимая, чтобы переместить тело, на которое воздействует сила ƒ, между положениями a и b, равна символ интеграл^b_aƒ(t)dt.

Интеграл также необходим для расчета расстояния, пройденного телом, если известен закон его движения (скорость).

Производную и интеграл связывает основная теорема анализа, согласно которой интегрирование обратно дифференцированию. Ньютон называл анализ расчетом флюксий, а мы знаем его как дифференциальное исчисление – это название предложил Лейбниц, второй изобретатель анализа бесконечно малых. Ньютон же считал интегральный анализ обратным анализу флюксий и никогда не стремился дать ему собственное наименование.

Давайте проанализируем простую физическую задачу: какое расстояние прошло тело за 4 секунды от начала движения, если к t секундам оно двигается со скоростью t² метров в секунду? Это соответствует функции v(t) = t² , которую мы уже рассматривали, и ответ равен символ интеграл

^b_at²dt. Как рассчитывается этот интеграл? Исходя из понимания интеграла как площади, его значение соответствует площади, ограниченной участком функции, имеющим параболическую форму. Точное определение интеграла – если не обращаться к геометрическому пониманию площади – сложный вопрос.

Если мы посмотрим на рисунок 1, то убедимся, что площадь состоит из вертикальных сегментов длины/(Ј), где число t принимает все значения между a и b. Рисунок предполагает, что площадь – это сумма этих сегментов. Далее, эти сегменты, будучи отрезками прямой линии, имеют ширину 0, из-за чего кажется, что их сумма не сможет образовать никакой площади. И снова мы сталкиваемся с бесконечно малым значением ширины этих сегментов, которые требуется сложить. В записи, предложенной Лейбницем, появляется понимание площади, ограниченной кривой, как суммы бесконечно малых: в соответствии с рисунком 1 каждый сегмент графика имеет высоту ƒ(t) и, по Лейбницу, бесконечно малую ширину, которую мы записываем как dt. Площадь этих сегментов равна произведению основания на высоту, то есть ƒ{t)dt, а общая площадь, которую мы хотим вычислить, будет суммой произведений: символ интегралƒ(t)dt. Какое значение следовало придать этой сумме, Лейбниц и Ньютон – основатели анализа бесконечно малых – так и не объяснили.

Как мы уже говорили, анализ бесконечно малых связывает производную и интеграл, а согласно основной теореме анализа производные и интегралы являются обратными величинами. Точнее говоря, если мы хотим рассчитать интеграл символ интеграл^b_a

ƒ(t)dt, то в соответствии с основной теоремой анализа достаточно вычислить функцию F такую, что F'(t) = ƒ(t) для каждого числа t между a и b; тогда символ интеграл^b_aƒ(t)dt = F(b) – F(a). (Также нужно учесть дополнительное условие – неразрывность функции ƒ.)

Рассмотрим пример: основная теорема анализа делает вычисление символ интеграл^b_a

t²dt довольно простым. Понятие интеграла крайне гибко, так как в зависимости от своей интерпретации он служит для расчета площади, ограниченной параболой или спиралью Архимеда, либо, как мы видели, расстояния, пройденного телом, которое двигается со скоростью v(t)=t² .

Используя основную теорему анализа бесконечно малых, достаточно найти функцию F, производная которой будет равна t². Общая форма производной функции вида ƒ(t)=t' равна ƒ(t)-nt^n-1. Отсюда получается, что производная функции

равна t² , так как F'(t)=nt^n-1 =3 * t²/3=t². Таким образом:

Как мы уже говорили, расстояние, пройденное за четыре секунды телом, движущимся в течение t секунд со скоростью t² м/с, дает интеграл символ интеграл^b_a

t²dt ; таким образом, достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 4, чтобы получить

ОТЦЫ АНАЛИЗА

До последней трети XVII века в математическом европейском мире существовал ряд методов для решения абсолютно разных задач: нахождение касательных к кривым, расчет площадей, объемов и центров тяжести, задачи максимальных и минимальных значений и т.д., которые представляют собой зачаточный этап современного анализа. Однако специфика методов, разработанных в каждом конкретном случае для решения определенных задач, не позволяет говорить об общей теории.

ПРОИЗВОДНАЯ КАК КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ