Новый Мир ( № 12 2007)

Натуральный ряд представляет собой, пожалуй, наиболее простой пример бесконечной совокупности, или, как говорят математики,бесконечного множества

. И уже в нём можно наблюдать некоторые парадоксальные явления, в частности — нарушение древней философемы “Целое больше части”. На это обратил внимание Галилей, описавший ситуацию с полной отчётливостью и наглядностью. В 1638 году вышла его книга “Беседы и математические доказательства...”. Изложение, в духе тогдашнего времени, выглядело как запись бесед, которые в течение шести дней вели между собою вымышленные персонажи. В первый же день была затронута тема бесконечности, в том числе применительно к натуральному ряду. Послушаем, что говорит один из участников беседы, синьор Сальвиати:

“Сальвиати. <…> Мне пришёл в голову пример, который я для большей ясности изложу в форме вопросов, обращённых к синьору Симпличио, указавшему на затруднения. Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.

Симпличио. Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на самого себя; таким образом числа четыре, девять и т. д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трёх на самих себя.

Сальвиати. Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т. е. перемножаемые, числа носят название сторон или корней; другие числа, не являющиеся произведениями двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь, если я скажу, что количество всех чисел вместе — квадратов и не квадратов — больше, нежели одних только квадратов, то такое утверждение будет правильным; не так ли?

Симпличио. Ничего не могу возразить против этого.

Сальвиати. Если я теперь спрошу вас, каково число квадратов, то

можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень — свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень — более одного квадрата.

Симпличио. Совершенно верно.