Новый Мир ( № 12 2007)

Для начала перестанем избегать термина

множество,

как это мы делали до сих пор, стыдливо заменяя его синонимом “совокупность”. Множество состоит из элементов, которых не обязательно много. (Это в русском языке слова “множество” и “много” однокоренные, а вот английское “set” и французское “ensemble” не несут на себе вводящего в заблуждение оттенка множественности.) Возможны множества, состоящие из одного только элемента, и даже

пустое множество,

вовсе не имеющее элементов. Зачем же рассматривать такие патологические образования, как пустое множество, спросит читатель. И мы ему ответим: это удобно. Удобно иметь право говорить, например, о множестве слонов в зоопарке города N, не зная заранее, есть ли в этом зоопарке хотя бы один слон. Какое множество ни взять, среди его частей присутствует и пустое множество: так, среди частей множества всех слонов земного шара присутствует не только множество слонов московского зоопарка, но и множество слонов любого зоопарка, слонов не имеющего. Во избежание недоразумений заметим, что пустое множество одно: пустое множество слонов и пустое множество мух представляют собою одно и то же множество. (Совершенно так же, как стакан газированной воды без вишневого сиропа не отличается от стакана газированной воды без апельсинового сиропа; сравнение понятно для тех читателей старших поколений, которые ещё помнят торговлю газировкой на улицах советских городов.)

Учение о сравнении количеств элементов в любых, а не только конечных, множествах целиком принадлежит великому немецкому математику и философу Георгу Кантору (1843 — 1918). Назвав Кантора немцем, мы всего лишь следовали укоренившейся традиции. Не вполне ясно, как его следует называть. Его отец родился в Дании, мать — в России. Сам он также родился в России, а именно в Санкт-Петербурге; в этом городе он провел первые одиннадцать лет своей жизни, о которых вспоминал с ностальгией. Вот, скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось выше, в главе 2, можно было, не испытывая сомнений, назвать французом: он всегда жил во Франции, ей служил и говорил по-французски; трудно представить, чтобы Ферма ощущал себя кем-то иным, а не французом. Кем ощущал себя Кантор — загадка. Его биографы указывают, что хотя свою взрослую жизнь он и прожил в Германии, уютно ему там не было.