Новый Мир ( № 12 2007)

И ещё об одном виде чисел — о так называемых

алгебраических числах. Действительное число называется

алгебраическим,

если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число ноль, а левая есть многочлен какой-то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (при иксе в квадрате, при иксе, свободный член) суть целые числа. Всякое рациональное число есть число алгебраическое (вопрос к читателю: почему?), и алгебраические числа образуют как бы следующий за рациональными разряд чисел по шкале “от простого к сложному”. Математиков долгое время интересовал вопрос, бывают ли действительные числа, не являющиеся алгебраическими; такие числа называют “трансцендентными”. Существование трансцендентных чисел было установлено в 1844 году путём приведения соответствующих достаточно сложных примеров; лишь в 1873 году и, соответственно, в 1882 году была доказана трансцендентность известных чиселe

и. Однако, если не требовать указания конкретных примеров трансцендентных чисел, само существование таковых может быть установлено тем же методом, каким выше было установлено существование чисел иррациональных. Именно, в 1874 году Кантор показал, что множество всех алгебраических уравнений счётно, из чего уже несложно вывести счётность множества алгебраических чисел. А мы знаем, что множество всех действительных чисел континуально, так что оно никак не может состоять из одних только алгебраических чисел.