Новый Мир ( № 12 2007)

Понятие эквивалентности служит основой для возникновения понятия количества элементов множества.Количество— это то общее, что имеется у всех эквивалентных друг другу множеств. Для каждой коллекции эквивалентных друг другу множеств это количество своё — одно и то же для всех множеств этой коллекции. Возьмём, например, множество чудес света, множество дней недели, множество нот гаммы, множество смертных грехов и множество федеральных округов России. Все они эквивалентны. Просвещённый читатель добавит к ним множество городов, споривших за честь быть родиной Гомера, и множество земных душ “по”, присутствующих, согласно учению китайцев, в каждом человеке. И множество столбов того дома мудрости, о котором говорится в “Притчах Соломона”. И множество невест ефрейтора Збруева. И множество пядей во лбу. Если теперь рассмотреть не только перечисленные только что множества, но и все мыслимые множества, эквивалентные перечисленным, то обнаружим, что в них присутствует некая общность. Эта общность есть количество элементов в каждом из них. В данном конкретном случае это количество называется, как всем известно, так:семь

. А количество элементов, характерное для множества планет Солнечной системы и всех эквивалентных ему множеств, теперь (после разжалования Плутона) называется так:восемь.

Надеемся, что читатель уже пришёл к выводу, что все счётные множества обладают одним и тем же количеством элементов. В частности, количество всех квадратов равно количеству всех натуральных чисел. Количество элементов какого-либо счётного множества (а у всех счётных множеств количество элементов одно и то же!) называется

счётной мощностьюи обозначается буквой алеф с нижним индексом ноль

(произносится

алеф-ноль). Вот и соответствующая цитата из одноимённого рассказа Борхеса — кстати, с довольно отчётливой формулировкой эффекта Кортасара: “в Mengenlehre Алеф — символ трансфинитных множеств, где целое не больше, чем какая-либо из частей”.

В математике вообще количество элементов в каком-либо множестве называютмощностью,

иликардинальным числом,этого множества. В частности, все континуальные множества имеют одну и ту же мощность, называемуюконтинуальной; она обозначается посредством строчной буквы цэ из печатного готического алфавита.