Новый Мир ( № 12 2007)

C большим трудом в сознание математиков проникало убеждение, что скорее всего сформулированное в аксиоме о параллельных утверждение вообще нельзя доказать. Осознать это было трудно ещё и потому, что вплоть до самого конца XIX века какой-либо чёткой системы аксиом геометрии вообще не существовало. Для аксиомы о параллельных решающим оказалось третье десятилетие XIX века. В этот период два великих геометра — российский математик Николай Иванович Лобачевский и венгерский математик Янош Бойаи (по-русски часто пишется “Больяй”) — совершенно независимо друг от друга построили геометрическую теорию, основанную на отрицании аксиомы о параллельных. Эту теорию называют

геометрией Лобачевского — Бойаиили же просто

геометрией Лобачевского

(предполагаю, что в Венгрии она называетсягеометрия Бойаи

). Первые публикации по геометрии Лобачевского принадлежат её авторам: Лобачевскому — в 1829 году, Бойаи — в 1832 году. Их предшественником можно считать немецкого юриста Швейкарта, который пришёл к мысли о возможности такой геометрии в 1818 году, но ничего не публиковал. “Король математиков” великий Гаусс, о котором уже было сказано в главе 5 о квадратуре круга, пришёл к этой мысли ещё раньше, но тоже ничего не публиковал, справедливо полагая, что научная общественность ещё не готова воспринять столь смелые мысли. И действительно, геометрия Лобачевского не получила признания современников (за исключением Гаусса, который её оценил и даже выучил русский язык, чтобы читать сочинения Лобачевского в подлиннике). Гениальность Лобачевского и Бойаи была признана только после их смерти (случившейся соответственно в 1856 и 1860 годах). Когда же, наконец, возможность неевклидовой геометрии была осознана, это произвело переворот не только в математике, но и в философии.

В геометрии Лобачевского много непривычного для нас, воспитанных на евклидовой геометрии. Например: сумма углов треугольника своя у каждого треугольника и притом всегда меньше 180 градусов; если треугольники подобны, то они равны; не бывает треугольников сколь угодно большой площади (это значит, что площадь треугольника не может быть больше некоторого числа, зависящего, разумеется, от выбора единицы площади).