Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Угол при начале координат между 1 и uv равен сумме углов между 1 и v и между 1 и u(все углы измеряются против часовой стрелки), а расстояние точки uv от начала координат равно произведению расстояний от начала координат до u и v. Это эквивалентно утверждению, что треугольник, образованный точками 0, v и uv подобен (и ориентирован подобно) треугольнику, образованному точками 0, 1 и u. (Энергичные читатели, не знакомые с такого рода построениями, могут сами убедиться в том, что эти построения непосредственно следуют из только что приведенных алгебраических правил сложения и умножения комплексных чисел, также как и упомянутые выше тригонометрические тождества.)

Построение множества Мандельброта

Теперь мы можем рассмотреть, как определяется множество Мандельброта. Пусть z— это некоторое произвольное комплексное число. Каковым бы ни было это число, оно представляется некоторой точкой на плоскости Аргана. Рассмотрим теперь отображение, при котором z превращается в новое комплексное число, равное

z → z ²+ с,

где с есть некое фиксированное (то есть заданное) комплексное число. Числу z ²

+ с будет сопоставляться некоторая другая точка на плоскости Аргана. Например, если с равно числу 1,63— i4,2, то z отображается согласно формуле

z → z ²+ 1,63— i4,2,

так что, в частности, число 3 превратится в

З ²+ 1,63 — i4,2= 9+ 1,63 — i4,2= 10,63 — i4,2,

а число - 2,7+ i0,3 в

(- 2,7+ i0,3) ²+ 1,63 — i4,2=

= (- 2,7) ²— ( 0,3) ²

+ 1,63+

+ i{(- 2,7)( 0,3) — 4,2} = 8,83 — i5,82.

Когда числа становятся громоздкими, вычисления лучше выполнять на компьютере.

Теперь, каково бы ни было число c, число 0 превращается, согласно принятой схеме, в число с. А что же можно сказать о самом числе с? Оно превращается в с ²+ с. Давайте продолжим этот процесс, применив наше преобразование к с ²+ с. Мы получим:

( с ²+ с) ²+ с= с+ 2 с+ с ²+ с.

Снова повторим отображение, применив его к приведенному выше числу. Мы получим:

( с ⁴+ 2 с ³+ с ²+ с) ²+ с=

= с ⁸+ 4с ⁷+ 6 с ⁶+ 6с ⁵+ 5с ⁴+ 2 с ³+ с ²+ с.

Потом еще раз применим процедуру, теперь уже к последнему числу, и т. д. В результате мы получаем последовательность комплексных чисел, которая начинается с числа 0:

0, с, с ²+ с, с ⁴+ 2с ³+ с ²+ с…

Данная процедура, будучи реализована при некоторых определенных значениях комплексного числа с

, дает последовательность чисел, которые все время остаются вблизи начала координат плоскости Аргана; точнее, для выбранных таким образом значений с получаемая последовательность оказывается ограниченной, то есть любой ее член находится в пределах некоторого фиксированного круга с центром в начале координат (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Последовательность точек на плоскости Аргана ограничена, если вся она целиком помещается в пределах некоторого фиксированного круга. (Итерация на рисунке начинаетсл с точки 0 и построена для с= — l/2+ ( l/2) i.)

Хорошим примером здесь может служить последовательность с = 0, поскольку каждый ее член равен 0. Другим примером ограниченного поведения является случай с = 1, при котором получается последовательность 0, -1, 0, -1, 0, -1….; еще один пример — это с = i, когда получается последовательность 0, i, i — 1, -i, i — 1, -i, i — 1, -i….. Однако, для целого ряда других комплексных чисел с получаемая последовательность все дальше удаляется от начала координат, то есть является неограниченной и не может находиться целиком в пределах фиксированного круга. Именно так происходит при с = 1, когда получается последовательность 0, 1, 2, 5, 26, 677,458 330….; аналогичное поведение имеет место в случае с = 3— соответствующая последовательность имеет вид 0, -3, 6, 33,1086….; а также случай с = i — 1, который приводит к последовательности 0, i — 1, -i — 1, -1 + 3i, — 9 — i5, 55 + i91, -5257 + i10011,