О Понимании

И в самом деле, истины, на которых покоятся выводы, напр. геометрии, не могли быть получены через наблюдения согласных случаев, которым ничто не противоречит, потому что они справедливы не относительно наблюдаемых реальных предметов, но только относительно предметов мыслимых. Реальные же предметы оправдывают на себе выводы геометрии лишь в той несовершенной степени, в какой они соответствуют этим мыслимым предметам: так, радиусы во всех существующих кругах не равны между собой и равны только в одном круге – в мыслимом, так как только в нем одном все точки лежат в совершенно равном расстоянии от центра. Каким же путем произошли эти положения математики? Путем мысленного отвлечения атрибутов от вещей, которым они принадлежат и в которых они видоизменяются, и путем логического комбинирования этих вещей и атрибутов как самостоятельных сущностей. Таким образом, начало происхождения математических основ кроется, правда, в возбуждающем наблюдение, самое же образование их совершается в отвлеченном мышлении. Так, наблюдаемые в природе прямые линии все неправильны, и, как бы обширно ни было их изучение, оно не в состоянии дать ничего, кроме смутных и приблизительных понятий об изучаемом, т. е. таких понятий, которые хотя и могут быть полезны в практическом отношении, однако не могут стать исходною точкою умозрительного исследования, не будучи в состоянии дать из себя ни одного плодотворного вывода. Этим прямые линии наблюдались некогда в продолжение тысячелетий и продолжают наблюдаться миллионами теперь; но ни в то время все люди, ни теперь многие не имели и не имеют понятия о геометрии и не знают ни об одном из свойств всем одинаково известной прямой. Для того чтобы получить понятие о линии, способное к дальнейшим выводам, необходимо было дать точное и ясное (геометрическое) определение ее; но чтобы могло возникнуть это определение, необходимо было, чтобы возник предварительно объект определяемый (геометрически правильная линия), что могло совершиться только в мышлении. Как произошло это? Наблюдая существующие линии, все более или менее кривые, человек обратил некогда внимание на то, что эта кривизна их то увеличивается, то уменьшается, тогда как самые линии остаются неизменно; и, вдумываясь глубже в это явление двух вечно сопутствующих друг другу фактов (протяженности и направления), из которых один неизменен, другой же – изменяется, он разделил наконец в своем мышлении то, что неразделимо в природе. Этот момент, когда в сознании отделилось понятие о кривизне как изменяющемся направлении, от представления самой кривой как некоторого протяжения, был моментом, когда зародилась наука геометрия; и тот, в чьем мышлении произошло это, был первым геометром, творцом новой науки о протяженности. Отделив мысленно кривизну как нечто сопутствующее и изменяющееся

в линии от самой линии и далее продолжая, также мысленно, различным образом соединять эти два элемента, то увеличивая, то уменьшая изменяющийся между ними (кривизну), – он уже мог без труда придти к созданию в своем представлении геометрически правильных линий, которых он не находил в природе, и к образованию в своем мышлении геометрически истинных определений их, способных дать из себя плодотворные выводы. Так, напр., произошло понятие о прямой линии. Заметив, что в линиях, существующих в природе, кривизна иногда уменьшается, человек мог уже создать мысленно линию, в которой кривизна совершенно исчезает, отсутствует. Это – линия с тожественным направлением во всех частях своих

[5]

, которая не существует в природе и которая, раз возникнув в воображении, затем могла быть подвергнута умозрительному изучению, давшему все те знания о ней, с которыми мы знакомимся теперь в геометрии. Все эти знания касаются свойств прямой линии, выведенных умозрительно через рассмотрение природы ее, выраженной в определении «прямая есть линия с тожественным направлением во всех частях своих». Так же произошло и геометрическое понятие об окружности. Видя, что в существующих линиях кривизна всегда неправильна, т. е. изменение направления непостоянно, человек мог придти к представлению линии с постоянною, правильною кривизною; или, что то же, к понятию об окружности, в которой каждый последующий элемент так же изменяет свое направление, как элемент предыдущий. Подобным же способом произошли и все другие первоначальные понятия геометрии, из которых затем было выведено умозрительно все содержание ее.