Открытие без границ. Бесконечность в математике

Иными словами, можно ли говорить, что М — счётное множество?

Нет, это не так, и Кантор это доказал с помощью метода, схожего с тем, который он использовал при доказательстве счётности множества , но намного более сложного. Также, используя метод доведения до абсурда, он показал, что множество (0, 1) всех вещественных чисел, заключённых между 0 и 1, не является счётным, следовательно, М также не может быть счётным. Таким образом Кантор создал серьёзный прецедент, сыгравший определяющую роль в математике XX века. Достаточно сказать, что этот прецедент стал частью доказательства знаменитой теоремы Гёделя о неполноте.

Больше чем бесконечность

Ты всем известен, но никем не охвачен, ибо умеренное кажется большим, большое — бесконечным и ещё раз бесконечным.

«Герой». Бальтазар Грасиан (1601–1658)

Кантор знал, что ни вещественная прямая, ни какой-либо из её отрезков не являются счётными. Далее он совершил гигантский шаг и встретился с бесконечностью лицом к лицу.

Напомним, что для того чтобы получить множество вещественных чисел, необходимо добавить к множеству рациональных чисел множество иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде частного двух целых. Множество вещественных чисел также является бесконечным и плотным. Однако оно не является счётным, в отличие от двух предыдущих, то есть этому множеству никоим образом нельзя поставить в соответствие ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …

Поэтому Кантор сформулировал следующую задачу: имеются бесконечные множества, в каждом из которых число элементов одинаково, например множества натуральных, чётных или рациональных чисел. Однако в этом случае появляется новое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нём больше элементов, чем в этих трёх множествах. Здесь Кантор вводит одну из самых революционных идей за всю историю математики: возможно, не все бесконечности одинаковы, а некоторые из них больше, чем другие? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество натуральных чисел. Затем он доказал, что множество вещественных чисел  не является счётным и содержит больше элементов, чем , то есть больше, чем множества натуральных и рациональных чисел.

Кардинальное число множества  он обозначил как алеф-один —  Так родился раздел математики, посвящённый трансфинитным числам.

* * *

ПРОВИДЕЦ ИЗ IX ВЕКА

Сабит ибн Курра (ок. 836–901) был авторитетным арабским учёным, жившим в IX веке. Известно, что он родился в Харране, в Междуречье. Помимо большого числа текстов по богословию и философии, он создал любопытный математический трактат, посвящённый, главным образом, арифметике. В нём ибн Курра, продемонстрировав невиданную для своего времени смелость, рассматривает возможность существования различных видов бесконечности в том смысле, что некоторые её виды могут быть больше других. Таким образом, ибн Курру можно считать подлинным предшественником Кантора.

* * *

Кантор знал, что — число  точек, содержащихся на любом отрезке прямой.

Это означает, что вне зависимости от размера двух отрезков прямой число точек на них будет одинаковым. Может показаться удивительным, но очень простое доказательство этого утверждения было известно ещё древним грекам.

Даны два отрезка, а и b. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие между их точками, достаточно выполнить следующее построение. Соединим концы отрезков прямыми с и d, которые пересекутся в точке Е.

Выберем произвольную точку F отрезка а и соединим отрезком эту точку с точкой E — точкой пересечения прямых с и d. Точка G, в которой эта прямая пересечёт отрезок b, и будет искомым отображением точки F. Очевидно, что таким образом можно сопоставить каждой точке отрезка а

точку отрезка b и наоборот. Это доказывает, что число точек на обоих отрезках одинаково.

Затем Кантор выполнил смертельный номер: взяв за основу один из этих отрезков, он построил квадрат

и смог доказать, что кардинальное число множества всех точек квадрата равно , то есть число точек квадрата равно числу точек на любой его стороне. Затем он сделал ещё один шаг и, использовав этот квадрат в качестве основания, построил куб:

И вновь доказал, что число точек, содержащихся в кубе, также равно .