Читаем Открытие без границ. Бесконечность в математике полностью

Открытие без границ. Бесконечность в математике

Первое известное доказательство иррациональности квадратного корня из 2 принадлежит философу-досократику, представителю пифагорейской школы Гиппасу из Метапонта (род. ок. 500 г. до н. э.), который, создав это доказательство, не только проявил способности к математике, но и затронул тему, табуированную в его среде. Не будем забывать о легенде, согласно которой за всякое упоминание о существовании иррациональных чисел пифагорейцы карали смертью.

Как и в большинстве подобных доказательств, включая и приводимое в некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида, в доказательстве Гиппаса используется метод доведения до абсурда. На современном языке его доказательство звучит следующим образом.

Если √2 — рациональное число, это означает, что его можно представить как частное двух целых вида

√2 = p/q

Отметим, что эта дробь является несократимой, то есть её числитель и знаменатель не имеют общих множителей. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

2 = p²/q²

и, как следствие,

p²= 2q²

Это означает, что р² чётно, поэтому

р также чётно. Таким образом, р можно представить как число, кратное 2, то есть в виде р = 2n. Имеем

2q² = р² = (2n)² = 4n².

Упростив равенство, получим

q² = 2n².

Иными словами, q² чётное, поэтому q также чётное. Мы пришли к выводу, что и р, и q

— чётные числа, таким образом, числитель и знаменатель дроби p/q имеют общий множитель, что противоречит исходной гипотезе. Это означает, что √2 нельзя представить в виде частного двух целых.

Первые приближённые значения √2 содержали всего 4–5 знаков после запятой.

Достаточно точное значение, содержащее 65 знаков после запятой, записывается так:

√2 ≈ 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799.

С помощью современных компьютеров можно получить приближённое значение этого числа, содержащее несколько миллионов знаков после запятой.

Множества чисел

Определение различных множеств чисел сложно для понимания и требует знаний математики, выходящих за рамки этой книги. Существуют альтернативные определения, менее строгие, но более понятные, которые основываются на практическом применении множеств для решения уравнений. Отправной точкой являются так называемые натуральные числа. Множество натуральных чисел 1, 2, 3, … обозначается буквой . Это множество записывается так:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….}

Некоторые авторы не включают 0 в множество натуральных чисел, что совершенно оправданно: это число появилось в результате длительных и глубоких размышлений, поэтому его сложно назвать натуральным, то есть естественным.

На множестве натуральных чисел решаются уравнения вида

х − 2 = 0.

Однако уравнения вида х +

2 = 0 на этом множестве решить нельзя, так как отрицательные числа не являются натуральными. Если добавить к множеству натуральных чисел отрицательные числа и 0, получим целые числа. Множество целых чисел обозначается буквой .

Аналогичным образом вводятся остальные множества чисел. Например, для решения уравнений вида

2x + 3 = 0,

корнем которого является x = −3/2, необходимо ввести множество рациональных чисел . Для уравнений вида

х² − 2 = 0

следует ввести множество иррациональных чисел. Объединение этого множества и множества рациональных чисел является множеством вещественных чисел .

Наконец, уравнение

х² + 2

= 0

не имеет вещественных решений, так как не существует такого вещественного числа, которое было бы квадратным корнем отрицательного числа. Следующий шаг, позволяющий решить уравнения такого типа, — введение комплексных чисел, множество которых обозначается буквой . Этот шаг также является последним, потому что было доказано: любое уравнение с комплексными коэффициентами всегда имеет решение (основная теорема алгебры).

Каждое из определённых нами множеств включает предыдущее (является его алгебраическим расширением):