Пятьсот двадцать головоломок

3) Делится ли новое частное без остатка на 2? Да.

Двадцать ваших вопросов должны быть все одинаковыми. Запишите справа налево вместо каждого «да» 0, а вместо каждого «нет» 1. Задав 20-й вопрос, вы получите 11001101111111000000. Это не что иное, как наше число 843 712, записанное в двоичной системе. Поскольку справа стоит 6 нулей, то первая справа единица означает 2 ⁶, следующая 2 ⁷и т. д. Сложив все степени двойки от 6-й до 15-й и прибавив к ним 2 ¹8 и 2 ¹9, вы получите число 843 712 в десятичной записи.

Если число не слишком велико, например равно 100 000, то достаточно было бы задать 17 вопросов, знай вы только, что частное равно 0. Три последних вопроса добавят лишних 3 нуля в старших разрядах вашего двоичного числа. Во избежание недоразумений лучше с самого начала считать, что 0 делится на 2 без остатка, а частное равно 0.

181. В каждой стопке число карт должно равняться 13 минус достоинство самой нижней из них. Следовательно, 13, умноженное на число стопок, минус сумма нижних карт и плюс число оставшихся карт должно равняться общему числу карт в колоде, то есть 52. Значит, сумма нижних карт равна 13, умноженному на число стопок, минус 52 и плюс число оставшихся карт. Но это то же самое, что 13, умноженное на число стопок без 4, плюс число оставшихся карт. Читатель с алгебраическими наклонностями легко сможет выразить все это на языке привычных символов.

182. У каждого из родителей было по 3 ребенка от первого брака, и.6 детей родилось от второго брака.

183. Нед Смит и его сестра Джейн получили по 3 яблока. Том и Кэт Брауны получили соответственно 8 и 4 яблока, Бил и Энн Джонсы — 3 и 1 яблоко, а Джэку и Мэри Робинсонам досталось 8 и 2 яблока. Всего было роздано 32 яблока.

184. Мать Мэри звали миссис Джонс. Покупки и затраты распределились следующим образом.

Среди дочерей:

Хильда купила 4 м за 16 центов,

Глэдис купила 6 м за 36 центов,

Нора купила 9 м за 81 цент,

Мэри купила 10 м за 1 доллар.

Среди матерей:

Миссис Смит купила 8 м за 64 цента,

миссис Браун купила 12 м за 1,44 доллара,

миссис Уайт купила 18 м за 3,24 доллара,

миссис Джонс купила 20 м за 4 доллара.

185. Чтобы найти число, представляющее собой одновременно и квадрат, и треугольное число, надо решить уравнение Пелля: 8 x ²+ 1 = y ²Последовательные значения для xравны 1, 6, 35 и т. д., а для yравны 3, 17, 99 и т. д. Ответом служит число 1225 (35 ²), обладающее требуемыми свойствами.

188. Разумеется, можно найти несколько решений данной задачи, но, по-видимому, наименьшими числами будут:

При отыскании общего решения используется тот факт, что любое простое число вида 4 m

+ 1 представляет собой сумму квадратов. Быть может, читателю захочется найти это решение.

187. Ответом служит число 2 2/3 . Чтобы найти его, требуется составить пропорцию: 5 : 4 = 3 1/3 : 2 2/3 .

188. Ответ имеет вид

Данное число можно умножить на 4 и разделить затем на 5, просто перенеся 2 из начала в конец.

189. Следующие четыре числа, составленные из пяти нечетных цифр, в сумме дают 14: 11, 1, 1, 1.

190. 1) 8  111 1/2 ; 2) 18 2/3 ; 3) 7 и 1; 4) 1 1/5 ; 5) 8 1/4 : 6) .

191. У Джека было 11 голов скота, у Джима — 7 и у Дана — 21, то есть всего 39 голов скота.

192. «Галочки» можно расставить 9 864 100 способами.

193. Кубы всех чисел от 14 до 25 включительно (всего 12) в сумме дают 97  344 = 312 ². Следующим за наименьшим ответом будут пять кубов 25, 26, 27, 28 и 29, сумма которых равна 315 ².

194. 7 ³= 343, 8 ³= 512, 512 - 343 = 169 = 13 ².

195. 642

³= 264  609  288; 641 ³= 263  374  721 и разность между кубами равна 1 234 567.

196. Ответом служит число 225 625 (квадраты чисел 15 и 25, выписанные подряд один за другим), равное квадрату 475.

197. Ответ: 482, 3362, 6242. Разность этой прогрессии равна 2880. Первое и второе числа в сумме дают 62 ², первое и третье — 82 ², а второе и третье — 98 ².

198. Если прибавить 125 к 100 и 125 к 164, то получатся числа 225 = 15 ²и 289 = 17 ².

199. У офицера было 1975 солдат. Когда он образовал каре 44 x 44, то у него осталось 39 лишних солдат, а когда он попытался образовать каре 45 x 45, ему не хватило 50 человек.

200. Вообще мы можем взять числа вида 625 m ⁶

и 2 x 625 m ⁶. Так, если мы возьмем m= 1, то получим 625 ²+ 1250 ²= 125 ³и 625 ³+ 1250 ³= 46  875 ².

201. Молочник должен добавить 1/4 л снятого молока.

202. Наименьшее число орехов равно 2179. Лучше всего сначала иметь дело только с первыми двумя случаями и выяснить, что 34 (или 34 плюс любое кратное 143) удовлетворяет условию для 11 и 13 обезьян. Затем следует найти наименьшее число такого вида, удовлетворяющее условию для 17 обезьян.

203. Число яблок у первого мальчика относится к числу яблок у второго мальчика и к числу яблок у третьего соответственно как 6 : 4 и 6 : 3. Сумма чисел 6, 4, 3 равна 13. Следовательно, мальчики получат , и , или 78, 52 и 39 яблок.

204. Двое работников должны напилить 3 м ³дров.