Пожар миров. Избранные статьи из журнала «Возрождение»

По причине громадного и всестороннего значения исчисления бесконечно малых нам не мешает вкратце обозреть путь, пройденный человечеством в направлении его двух вершин – Ньютона и Лейбница (и Лейбница в большей степени и независимо от Ньютона). По всей вероятности, идея исчисления бесконечно малых в применении к проведению касательной и к выпрямлению кривых линий и поверхностей, к нахождению объемов и несоизмеримого числа «пи», выражающего отношение длины диаметра к длине окружности, столь же стара, как мир и человечество. Но ее формулировки и практическое использование, равно как и ее символическое знакоположение должны были дожидаться веками и тысячелетиями. Древние греки, в частности Архимед (287–212 до P. X.), интересовались главным образом задачами, связанными с тем, что в наше время именуется интегральным исчислением, обратным дифференциальному. Этому удивляться не приходится, приняв во внимание громадное практическое значение интегрального исчисления. Сравнительно недавно найденные Гейбергом сочинения Архимеда показывают очень высокую для того времени технику в решении такого рода труднейших задач, как квадратура сегментов параболы и проблема шара, вписанного в цилиндр, и вообще целого ряда задач по спрямлению, по квадратурам и кубатурам. Сочинение Иоганна Кеплера «Стереометрия винных бочек», появившееся в 1615 г., включало в себя старую проблему Архимеда о шаре и цилиндре. Значительно подвинули дело книга миланского ученого Кавальери (1591–1647) «Метод неделимых» (Metodus indivisibilium) и знаменитый Галилео Галилей (1564–1642). Этим же методом пользовался ученик Галилея – Торричелли, известный создатель ртутного барометра. Это, в сущности, метод определения интеграла. Он заключается в том, чтобы рассматривать часть плоской поверхности как совокупность хорд, параллельных некоторой неподвижной прямой, а тело – как совокупность плоских сечений, параллельных неподвижной плоскости. Немного позже во Франции воцарился наиболее строгий в доказательствах и наиболее практичный в вычислениях метод квадратур. Сюда относятся такие славные имена, как Ферма (1601–1665), Роберваль (1602–1672), Блез Паскаль (1623–1662). Этот метод через посредство Вьета (1540–1603) сочетался с аналитическим методом Декарта (1596–1650) и вполне подчинился ему, что можно рассматривать как большой шаг вперед. К современному своему виду исчисление бесконечно малых приблизилось, когда им стали пользоваться для построения касательной и решения задач о максимуме и минимуме. Минуя работы голландца Гюйгенса и англичанина Барроу, переходим к Лейбницу.

В 1672 г. он прибыл в Париж в качестве дипломата. Двор «Короля-Солнца» был настоящим созвездием великих ученых и артистов. Там Лейбниц, между прочим, познакомился с уже названным голландским физиком и математиком Гюйгенсом, который к тому времени написал очень важный и содержательный труд «О колебании маятника». Известно, какой богатый и сложный комплекс проблем связан был с проблемой качания маятника. Принявшись со всевозможным усердием и настойчивостью пополнять свое недостаточное для понимания этих проблем математическое образование, главным образом через тщательное изучение творений Декарта и Паскаля, Лейбниц вскоре поднялся так высоко, что из ученика превратился в учителя и сам стал делать открытия первостепенной важности. Он вывел общую теорему квадратур и установил сходящийся ряд с переменными знаками для числа «пи». Этим одним, а также общей проблемой сходящихся рядов с переменными знаками, столь важной для анализа бесконечно малых, он мог бы уже тогда обессмертить свое имя. Вот эта формула, простая и изящная:

Позже он дал строгое доказательство своей теоремы, согласно которой «ряд с переменными знаками сходится только тогда, когда общий член имеет пределом нуль». Простота и изящество формулировки этой чрезвычайно важной теоремы таковы, что она кажется сама собой понятной и не требующей доказательств. По всей вероятности, это и послужило причиной того, что за вполне строгое доказательство этой теоремы он принялся позже, именно 10 января 1714 г., в известном письме к Бернулли.

В 1673 г. он занимается проблемой касательной, столь важной для анализа бесконечно малых, и, наконец, в 1675 г. устанавливает технику дифференциального и интегрального исчислений в том виде, которым в настоящее время пользуется весь мир. Сюда же относится и введение символов d и J, которым Лейбниц придавал очень большое значение, как и символике вообще, что обнаружило в нем душу великого метафизика. Об этом он говорит в письме, позже написанном маркизу дел\'Опиталь в 1693 г. и представляющем драгоценный философско-метафизичеосий и научный перл. В нем он смело признает, что если не вся тайна анализа бесконечно малых, то ее существенная часть заключена в ее символических обозначениях и вообще в ее символике. Впрочем, он писал об этом и раньше – именно 25 марта 1677 г.