Путеводитель для влюбленных в математику

Теперь подумаем, что значит расстояние от точки 3 + 4i до начала координат. На рисунке оно обозначено отрезком с двумя стрелочками на концах. Это – не что иное, как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами длиной 3 и 4. Пусть c – длина данной гипотенузы, тогда по теореме Пифагора

с² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Таким образом, Вывод: |3 + 4i| = 5.

В общем случае комплексное число a + bi задает точку с координатой a по горизонтали и координатой b по вертикали. Отрезок, соединяющий эту точку с началом координат, представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами длиной a и b. Если мы обозначим длину гипотенузы буквой c, то получим в соответствии с теоремой Пифагора:

Необходимо отметить, что эта формула работает как для комплексных, так и для действительных чисел[154]. Например, если мы хотим вычислить абсолютную величину числа –4 сложным путем, представим его в комплексном виде: – 4 + 0i. Подставив a = –4 и b = 0 в формулу (A), мы получим:

Пифагоровы тройки

Если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то гипотенуза равна 5. Все это целые числа[155]. Вот другой пример: если длины катетов 5 и 12, то длина гипотенузы –

Все три числа снова оказались целыми. Но так везет не всегда. Если длины катетов – 2 и 3, то длина гипотенузы а это иррациональное число.

Если три положительных целых числа a, b, c являются длинами сторон прямоугольного треугольника, их называют пифагоровой тройкой. Простейшие примеры: 3, 4, 5 и 5, 12, 13. А как насчет других? Как их отыскать? Удивительно, но факт: ключ к пифагоровым тройкам лежит в области комплексных чисел!

Прежде чем погрузиться в детали, посмотрим, как комплексное число z = 2 + i связано с пифагоровой тройкой 3, 4, 5:

• Шаг 1. Вычислим z²:

z² = (2 + i) × (2 + i) = (4–1) + (2 + 2) i = 3 + 4i.

• Шаг 2. Вычислим |z²|:

Вычисления на шаге 2 показывают, что числа 3, 4 и 5 представляют собой пифагорову тройку. Отрезок на комплексной плоскости, соединяющий начало координат и точку 3 + 4i, – это гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 3 и 4, ее длина равна 5.

Повторим процедуру с комплексным числом z = 3 + 2i. Посчитаем z² и абсолютную величину этого числа:

Мы нашли пифагорову тройку: 5, 12, 13!

Еще один пример, и мы поймем принцип. Возьмем число z = 5 + 2i. Возведем его в квадрат и посчитаем абсолютную величину получившегося числа:

Мы нашли еще одну пифагорову тройку: 20, 21, 29.

Давайте подумаем, как это работает, вернувшись к первому примеру: z = 2 + i. Заметим: Мы возвели z в квадрат и посчитали абсолютную величину получившегося числа: Подытожим:

Таким образом, |z²| = |z|².

Всегда ли так? Разумеется, тождество выполняется для действительных чисел (например, |(–4)²| = |16 | = |–4 |²), но доказательство этого факта для комплексных чисел потребует некоторых алгебраических выкладок (проделайте их самостоятельно и сверьтесь с решением в конце главы[156]).

Вернемся к процедуре поиска пифагоровых троек. Начнем с комплексного числа z = x + yi, где x и y – целые числа[157]. Абсолютная величина z может не быть целым числом, но оно представляет собой квадратный корень из целого числа: Абсолютная величина z² непременно будет целым числом: |z²| = |z|² = x² + y². Найдем z²:

z² = (x + yi) × (x + yi) = (x² – y²) + (2xy) i.

Пусть a = x² – y², b = 2xy, c = x² + y². Тогда |a + bi| = c; следовательно, a² + b² = c².

Последний пример: пусть z = 7 + 4i. Его квадрат равен 33 + 56i, абсолютная величина этого числа равна

Еще одна пифагорова тройка: 33, 56, 65.

Я продемонстрировал процедуру поиска пифагоровых троек. Возникает естественный вопрос: все ли пифагоровы тройки можно найти подобным образом? Да, но доказательство этого факта довольно сложное, так что, если вам интересно, я рекомендую обратиться к литературе по теории чисел.

Великая теорема Ферма

Мы рассмотрели тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнению теоремы Пифагора. Они лишь косвенным образом связаны с миром прямоугольных треугольников. Сейчас мы полностью перенесемся за пределы геометрии и подумаем о решениях уравнения aⁿ + bⁿ = cⁿ.

Легко найти тройки целых чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению a + b = c. В предыдущем разделе я рассказал о способе поиска троек целых чисел, удовлетворяющих уравнению a² + b² = c². Сейчас нам предстоит перейти к более высоким степеням: можем ли мы найти тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнению a³ + b³ = c³, или a⁴ + b⁴ = c⁴, или a⁵ + b⁵ = c⁵ и т. д.?

Вот два неинтересных решения уравнения a³ + b³ = c³:

5³ + 0³ = 5³; 5³ +(–5)³ = 0³.

Куда сложнее найти тройки целых чисел, не равных нулю, которые являются решениями уравнения a³ + b³ = c³. Такие решения называются нетривиальными.