Путеводитель для влюбленных в математику

Окружности четыреСошлись для поцелуя,Пригожая малюткаСкривилась больше всех.А если единичкуНа радиус делю я,То это будет кривизна.Невиданный успех!Евклид буквально онемел…Дружок, скорей берись за мел:Коль нулевая кривизна,То линия прямая;Коль минус перед кривизной,Целуйся, обнимая.«Сложи криви́зны, возведиВ квадрат всю эту сумму,И на два ну-ка подели!» –Кричу я тугодуму. –«Теперь все это приравняйК величине другой:Криви́зны возведи в квадрат,Сплюсуй, мой дорогой».Две суммы в точности равны,И все от радости пьяны:Целуются, милуются,Собой не налюбуются!

Есть еще один вариант поцелуя четырех окружностей. На сей раз они будут касаться друг друга попарно, выстроившись в кольцо. Иными словами, касаются первая и вторая окружности, вторая и третья, третья и четвертая, четвертая и первая. Итого мы имеем четыре точки соприкосновения.

Удивительно, но факт: эти четыре точки всегда будут лежать на другой окружности, пятой по счету.

Теорема Паскаля о шестиугольнике

Я завершу эту главу теоремой, доказанной Блезом Паскалем[167].

Расставим на окружности шесть точек: A, B, C, D, E и F. Соединим их отрезками, чтобы возник перекрученный шестиугольник:

A → D → B → F → C → E → A.

Теорема Паскаля говорит о том, что три точки, в которых пересекаются пары отрезков DB и CE, AD и FC, BF и EA (на чертеже они отмечены буквами X, Y, Z соответственно) всегда будут лежать на одной прямой!

Отмечу, что теорема Паскаля верна и в случае шести точек, лежащих на эллипсе[168].

Плотность гексагональной упаковки кругов

Предположим, все круги имеют радиус 1. Центры четырех соседних кругов расположены на вершинах ромба со стороной 2.

Ромб состоит из двух равносторонних треугольников. Высота равностороннего треугольника[169] со стороной 2 равна √3. Таким образом, площадь треугольников равна

Площадь ромба вдвое больше: 2√3

Теперь давайте подумаем, какой процент площадей кругов покрывает ромб. Два круга покрыты на 1/6 и еще два – на 1/3. Все вместе дает площадь одного круга с радиусом 1, то есть π.

Соотношение покрытой кругами площади к общей площади равно

Глава 16Платоновы тела

Равносторонний треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех равных между собой отрезков, пересекающихся под углом 60°. Квадрат – фигура, состоящая из четырех равных между собой отрезков, пересекающихся под углом 90°. Это примеры правильных многоугольников – фигур, состоящих из равных между собой прямых отрезков, пересекающихся под равными углами. На рисунке изображен правильный семиугольник (гептагон[170]).

Некоторые дорожные знаки (например, знак «Движение без остановки запрещено») имеют форму правильного восьмиугольника (октагона).

Задумавшись на секунду, мы поймем, что правильных многоугольников бесконечно много: существует правильный n-угольник при любом натуральном n ≥ 3.

Мы вычерчиваем многоугольники на плоскости. А как насчет родственных им фигур в трехмерном пространстве?

Многогранники

«Перешедшие на следующий уровень» многоугольники в трехмерном пространстве называют многогранниками (или полиэдрами). Многогранник – это пространственная фигура с плоскими гранями, каждая из которых представляет собой многоугольник. Среди наиболее известных многогранников – треугольная призма и пирамида с квадратным основанием. Треугольная призма состоит из трех прямоугольников и двух треугольников. Пирамида состоит из четырех треугольников и одного квадрата.

Как расширить идею правильного многоугольника на пространственные фигуры? Правильный многогранник имеет конгруэнтные[171] грани и углы.

Расширение до трех измерений требует, чтобы все части многогранника были конгруэнтны между собой. Таким образом:

– все ребра многогранника равны между собой;

– все углы, под которыми пересекаются два ребра, равны между собой;

– в каждой вершине пересекается одинаковое число ребер;

– все углы между соседними гранями равны между собой.