Развлечения со спичками

На рис. 46 изображен четыреугольник из 6 спичек, площадь которого вдвое больше площади квадрата со стороною, равною одной спичке. Так как длина спички вам известна — 5 см, то вы легко определите площадь вашего четыреугольника в сантиметрах: 5 x 10 = 50 кв. см.

Задача состоит в следующем: не изменяя длины обвода этого четыреугольника, изменить форму его так, чтобы площадь его уменьшилась вдвое, т.-е. равнялась 25 см.

Как это сделать?

Пусть читатель обратит внимание на то, что речь идет о составлении четыреугольной фигуры (а не непременно прямоугольной): углы новой фигуры не обязательно должны быть прямые.

Решение

Надо из 6-ти спичек сложить параллелограмм так, чтобы его высота равнялась одной спичке (рис. 47).

Такой параллелограмм, имеющий одинаковые основание и высоту с квадратом, должен иметь и одинаковую с ним площадь.

Что больше?

Задача 34-я

Ил 6-ти спичек сложены прямоугольник и равносторонний треугольник. Обводы этих фигур, конечно, одинаковы. А у какой больше площадь? (рис. 48).

Решение

Чтобы решить эту задачу, надо знать, как вычисляется площадь треугольника: умножают длину основания на высоту и полученное произведение делят пополам; или — что то же самое — умножают половину основания на высоту. В нашем треугольнике половина основания = одной спичке, т.-е. основанию прямоугольника. Если бы высоты этих фигур были одинаковы, то обе фигуры имели бы равные площади.

Но легко видеть, что высота треугольника меньше двух спичек, т.-е. меньше высоты прямоугольника. Значит, и площадь треугольника меньше площади прямоугольника.

Фигура с наибольшей площадью

Задача 35-я

Сейчас мы составили из 6-ти спичек прямоугольник и равносторонний треугольник. Но из того же числа спичек можно составить еще и другие фигуры, имеющие одинаковый обвод. Некоторые из этих фигур изображены на рис. 49.

Площади всех этих фигур различны. Спрашивается, у какой же из них площадь наибольшая?

Решение

Мы уже знаем, что площадь фиг. 1 больше площади фиг. 2. Легко сообразить, что она больше также и площади фиг. 3 (сравните их высоты!)

Остается, следовательно, сравнить по величине площади фигуры 1, 4 и 5. Мы можем рассматривать все три фигуры, как шестиугольники с равными сторонами (у фиг. 1 два угла выпрямлены). В курсах геометрии доказывается, что из всех многоугольников с одинаковым числом сторон и одинаковым обводом наибольшую площадь имеет многоугольник правильный, т.-е. такой, у которого равны не только стороны, но и углы. Этому условию удовлетворяет фигура 5; она следовательно, и имеет наибольшую площадь, какую можно ограничить шестью спичками[6].

Покажем кстати, как можно сложить из спичек правильный шестиугольник.

Для этого нужно примкнуть друг к другу 6 равносторонних треугольников, как показано на рис. 50, и затем вынуть внутренние спички.

Мост из двух спичек

Задача 36-я

На рис. 51 вы видите остров, окруженный каналом. Ширина канала как раз равна длине одной спички, так что перебросить мостик через канал с помощью одной спички нельзя: невозможно опереться концами о берега канала.

Не удастся ли вам перекинуть мост через канаву помощью двух спичек? Помните, однако, что склеивать или связывать эти две спички не полагается.

Решение