Ритм Вселенной. Как из хаоса возникает порядок

Если бы мои восковые поверхности представляли собой нечто подобное, это было бы плохо. С точки зрения химических законов, свиткообразная волна должна представлять собой двустороннюю поверхность из-за непреложного факта, касающегося возбудимой среды: волны распространяются перпендикулярно самим себе, вторгаясь на неактивные территории и оставляя позади себя резистентную «выжженную пустыню». Это означает, что у такой волны есть передняя и задняя сторона, тогда как у листа Мебиуса есть только одна сторона. Это можно сформулировать по-другому. Представьте, что вы закрасили одну сторону листа Мебиуса красным цветом (сторону, которая движется вперед), а другую его сторону вы закрасили черным цветом (сторону, за которой остается «выжженная пустыня»). Но то и другое является одной и той же стороной, и в конце концов вам придется красить черным цветом поверх красного. Все концепция распространения волны вперед утрачивает смысл, если волна оказывается односторонней.

Трилистник можно изображать разными способами. Интересно отметить, что некоторые из них ведут к односторонним поверхностям (и, следовательно, неприемлемы), тогда как другие дают желаемые двусторонние поверхности, то есть являются подходящими кандидатами на форму волнового фронта. Поэкспериментировав еще немного, я пришел к выводу, что все приемлемые поверхности топологически эквивалентны, то есть обладают подходящим изгибом и растяжением, причем каждую из них можно непрерывно деформировать, превращая в любую другую. Таким образом, существовал лишь один правильный ответ, и этот ответ уже был известен нам. Вот как должна была выглядеть поверхность свиткообразной волны для трилистника.

Нам предстояло ответить на следующий вопрос: должен ли результирующий свиток быть скрученным, и если да, то в какой степени. Чтобы измерить это скручивание экспериментальным путем, я укладывал кусок нити вдоль поверхности из воска так, чтобы он всегда пролегал параллельно ее наружному краю, оказываясь лишь на миллиметр внутри ее, и продолжал укладывать эту нить вдоль всей поверхности, пока она не соединялась со своим началом, то есть пока не замкнется контур. Этот контур также образовывал трилистный узел – в точности такой, как первоначальная нить, а вместе они определяли два края воображаемой ленты.

Эта лента напоминала мне что-то из моей дипломной работы в колледже, в которой рассматривалась топология сверхспиральных молекул ДНК. Ключевой концепцией в том случае была математическая величина, называемая числом зацеплений в двухцепочечной сверхспиральной ДНК[219]

, которая, грубо говоря, показывает, сколько раз одна нить ДНК обвивается вокруг другой нити ДНК, помимо обвивания, предполагаемого самой двойной спиралью. Эта величина зависит как от скручивания в ДНК, так и от ее трехмерного пути в пространстве. Теперь, в случае свиткообразной волны, число зацеплений ленты должно заключать в себе всю важную информацию о скручивании волны, а также о форме ее заузленной нити. Когда я вычислил число зацеплений, оказалось, что оно равняется нулю. Замечательно! Все оказалось так просто. Свиткообразные волны в форме трилистника могут существовать, а число зацеплений у них всегда равняется нулю. Позже нам удалось доказать, что то же самое должно быть справедливо для любого узла, а не только для трилистного узла.

По окончании лета я перебрался в Бостон, чтобы поступить в магистратуру в Гарвардском университете. Впрочем, я продолжал поддерживать контакты с Уинфри. Нам предстояло написать несколько статей; к тому же нам нужно было найти ответы на две давние загадки. Зимой того же года я навестил Уинфри в доме его родителей, в городке Лонгбоут-Ки, Флорида, где нам наконец-то удалось решить проблему топологии свиткообразной волны в ее наиболее общей форме. Нам удалось доказать, что произвольное количество колец из свитка могут быть разнообразными способами связаны, скручены и заузлены между собой при условии, что они удовлетворяют единственному уравнению: число зацеплений ленты каждого кольца плюс все его взаимные связи с другими кольцами должно в сумме равняться нулю. В противном случае соответствующая структура оказывалась недопустимой. С некоторой долей иронии мы называли это принципом исключения[220], по аналогии с принципом исключения Паули в химии, который ограничивает атомную структуру элементов и дает начало картинам, которые мы наблюдаем в периодической таблице элементов. Для нас «элементами» были разрешенные конфигурации колец из свитка и узлов, расположенные в порядке возрастания сложности. «Водородом» было для нас отдельно взятое кольцо из свитка, в котором не было ни узлов, ни скручиваний. «Гелием» было два кольца, связанные друг с другом и скрученные однократно.