Читаем Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы полностью

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Альберт Анатольевич Рывкин , Евгений Борисович Ваховский

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

21.1. Сколькими различными способами можно усадить за круглый стол n человек, если два способа считаются одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый и правый соседи не различаются).

21.2. Имеется одна перестановка из пяти элементов: а₁, а₂, а₃, а₄, а₅. Найдите число всех перестановок из этих элементов, в каждой из которых на первом месте стоит элемент, отличный от а₁, а на втором — элемент, отличный от а₂.

21.3. Сколько можно образовать семизначных чисел из цифр 1, 2, 3, ..., 8 с тем, чтобы цифра 2 входила в каждое число не меньше, чем три раза?

21.4. Сколько восьмизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если в каждом числе цифра 1 содержится три раза, а остальные цифры по одному разу?

21.5. Экскурсанты заказали на пароходе 8 четырехместных кают. Все места в каждой из кают и все каюты равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться в каютах, если их 32 человека?

21.6. Вычислите сумму

21.7. Найдите все значения n, при которых какие-либо три последовательных коэффициента разложения бинома (x + а)ⁿ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

21.8. Найдите число неподобных между собой членов разложения

(а + b + с + d)ⁿ.

21.9. Найдите коэффициент при х^k в разложении

(1 + x + x^2 + ... + хⁿ^{- 1})^2.

21.10. Для бинома (¹/₅x + ²/₅)ⁿ найдите натуральный показатель n, если известно, что десятый член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.

21.11. Определите число отличных от нуля коэффициентов в разложении

(1 + x^2 +

х⁵)²⁰ = а₀ + а₁х + а₂х^2 + ... + а₁₀₀х¹⁰⁰.

21.12. Дана последовательность а₁, а₂, а₃, ..., а₁₀. Сколькими способами, сохраняя фиксированный порядок элементов последовательности, ее можно разбить на группы, каждая из которых состоит из одного элемента или двух рядом стоящих элементов?

21.13. На плоскости проведены m параллельных прямых и n прямых, пересекающих эти прямые и друг друга. Никакие три прямые не проходят через одну точку. На сколько областей (частей) эти прямые разбивают плоскость?

Глава 22
Обратные тригонометрические функции

Определения обратных тригонометрических функций приводят к следующим соотношениям.

Если arcsin x = (-1 = x = 1), то sin = x и -/₂= = /₂.

Если x >= 0, то 0 = = /₂; если x = 0, то -/₂ = = 0.

Если arccos x = (-1 = x = 1), то cos = x и 0 = = .

Если x >= 0, то 0 = = /₂; если x

= 0, то /₂ = = .

Если arctg x = , то tg = x и -/₂ /₂.

Если x >= 0, то 0 = /₂ ; если x = 0, то -/₂ = 0.

Если arctg x = , то ctg = x и 0 .

Если x >= 0, то 0 = /₂; если x = 0, то /₂ = .

Имеют место следующие соотношения[14]:

arcsin x + arccos x = /₂; arctg x + arcctg x = /₂;

arcsin (-x) = -arcsin x; arctg (-x) = -arctg x; arccos (-x) = - arccos x; arcctg (-x) = - arcctg x.

22.1. Докажите, что

2 arctg 1/4 + arctg ⁷/₂₃ = /₄.

22.2. Представьте выражение

arctg ⁷/₉ + arcctg 8 + arcsin ²/

₄

в виде значения функции arcsin x.

22.3. Представьте выражение

arctg (-2) + arcsin 1/3 + arctg (- 1/3 )

в виде значения лишь одной обратной тригонометрической функции.

22.4. Вычислите сумму

22.5. Найдите

arccos (sin (x^2 + x - З)),

если

22.6. Докажите, что если 0 = x = 1, то

22.7. Докажите, что выражение arcsin не зависит от x, если x -1, и упростите его в этом случае.

Решите уравнения:

22.8. tg (З arcsin x) = 1.

22.9. arcsin ^3x/₅ + arcsin ^4x/₅ = arcsin x.

22.10. arcsin 2x + arcsin x = /₃.

22.11. arctg (2 + cos x) - arctg (2 cos^2 ^x/₂) = /₄.

22.12.

22.13. arctg (x - 1) + arctg x + arctg (x + 1) = arctg Зx.

Глава 23
Область определения. Периодичность

Областью определения функции может быть вся числовая ось (у = x^2, у = sin x

), луч с принадлежащей ему граничной точкой (у = x , граничная точка x = 0 принадлежит области определения x >= 0) и с не принадлежащей ему граничной точкой (у = lg x), совокупность интервалов (замкнутых, открытых, полуоткрытых) и отдельных точек.

Важной характеристикой функции является ее периодичность. С помощью периодических функций можно описать явления, повторяющиеся через равные промежутки времени. Функция f(x) называется периодической, если существует такое число T /= 0, что для любого значения аргумента x числа x + T и x - T также являются значениями аргумента и выполняется равенство f(x + T) = f(x).

Если T — период f(x) и x — значение аргумента, то x + nТ, где n — целое число, — также значение ее аргумента, а пТ — период функции f(x). В частности, если T — период, то и -T — тоже период.