Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия не обязательно является убывающей последовательностью. Она может быть возрастающей, например, при a₁ = -1, q =  1/2 , а может быть колеблющейся: a₁ = 1, q = - 1/2  .

Если для бесконечной последовательности существует конечный предел последовательности ее сумм S_n, т. е. существует , то S называется суммой всех членов этой бесконечной последовательности.

Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела сумму всех своих членов, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно убывающей. В этом случае

19.1. Общий член последовательности  Является эта последовательность возрастающей или убывающей?

19.2. Докажите, что если члены a_p, a_q, a_r, a_s арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то последовательность p - q, q - r, r - s является геометрической прогрессией.

19.3. Докажите, что если положительные числа a, b, с — соответственно m

-й, n-й и p-й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то

a^{b - с}b^{с - a}с^{a - b} = 1.

19.4. Докажите, что если а, b, с образуют геометрическую прогрессию, то

где x 0, x /= 1, а, b, с — различные положительные числа, отличные от единицы.

19.5. Найдите сумму

S = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7,

где последнее слагаемое содержит n цифр.

19.6. Докажите, что  где цифра 1 повторяется 2n раз, и цифры 2 и 3 только n раз.

19.7. При каких значениях x и у последовательность а

₁, а₂, а₃, где

является одновременно арифметической и геометрической прогрессией?

19.8. Пусть х₁ и х₂ — корни уравнения x^2 - 3х + А = 0, а х₃ и х₄ — корни уравнения x^2 - 12х + В = 0. Известно, что последовательность х₁, х₂, х₃, x₄

является возрастающей геометрической прогрессией. Найдите А и В.

19.9. Решите уравнение

х^3 - 7х^2 + 14х + а = 0,

зная, что его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию.

19.10. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых n членов. Найдите произведение первых n членов, если первый член равен 2.

19.11. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.

19.12. Найдите трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.

19.13. Имеющиеся в колхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в колхозе?

19.14. Три брата, возрасты которых образуют геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через 3 года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 p. больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?

19.15. Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии.

19.16. Даны два числа а и b. Составим последовательность а, b, a_1, b₁, a₂, b₂

, ..., а_n, b_n, ..., каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему арифметическому двух предшествующих. Докажите, что

и найдите предел этой последовательности.

19.17. Найдите все положительные значения а, для которых все неотрицательные значения x, удовлетворяющие уравнению

cos [(8а - 3)x] = cos [(14а + 5)x]

и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

Глава 20

Суммирование

При решении задач, связанных с последовательностями, приходится доказывать утверждения такого типа: «Для любого целого n >= p (где p — целое) справедливо...»

Доказательство этих утверждений базируется на аксиоме индукции.

Пусть для некоторого утверждения А доказаны две теоремы.

Теорема 1. Утверждение А справедливо для n = p.

Теорема 2. Из условия, что утверждение А справедливо для всех p = n = k, следует, что оно справедливо для n = k + 1.

Тогда в качестве аксиомы (она называется аксиомой индукции) принимают, что утверждение А справедливо для всех n >= p (n, p и А — целые числа).