Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

9.23. Возвести первое уравнение в квадрат и вычесть его из второго. Из полученного уравнения исключить z, воспользовавшись сначала третьим, а затем первым уравнениями. (!!)

Чтобы осуществить эту операцию, первое уравнение нужно предварительно умножить на у.

9.24. Почленно сложить каждые два уравнения: первое и второе, первое и третье, второе и третье. Из найденной системы получить уравнение относительно u = xyz. (!!)

Чтобы получить уравнение относительно u = xyz, достаточно перемножить полученные уравнения.

9.25. Каждое уравнение — квадратное относительно соответствующего x_k. Решив все эти квадратные уравнения и сложив их решения, мы получим уравнение относительно s. Гарантировать равносильность при этом нельзя, но в условии задачи требуется найти только одно решение.

9.26. Если обозначить 7x - 11у = u, то отсюда можно выразить z через u и у. Таким образом, мы получим снова систему двух уравнений с двумя неизвестными. Из этой системы легко исключить у.

9.27. Из такой системы можно исключить у, одновременно избавляясь от иррациональностей: нужно возвести оба уравнения в квадрат и вычесть второе из первого.

9.28. Выразить  через x и сравнить получающиеся в результате выражения для z^2.

9.29. Полученная после возведения в квадрат система уравнений позволяет легко определить u - v, а затем u и v. (!!)

При определении u и v и при последующем вычислении x и у нужно провести исследование. В результате будут использованы условия

а b  0 и а + b 1, а также введенные при возведении в квадрат ограничения x 0, у 0.

9.30. Наряду с решением x₁, у₁, z₁ у системы обязательно есть решение -x₁, -у₁, z₁. Таким образом, для единственности решения системы необходимо, чтобы эти два решения совпали. (!!)

Условие совпадения симметричных решений приведет к системе относительно а и b. Каждое из полученных значений а и b нужно проверить, так как мы воспользовались лишь необходимым условием единственности решения системы.

9.31. Подставив в первое и второе уравнения у = -x, мы получим два линейных уравнения относительно x^3. Выразить из каждого уравнения x^3 и приравнять эти два выражения. (!!)

Предыдущие рассуждения позволяют ограничить число рассматриваемых значений параметра а. Остается проверить, выполняются ли для каждого из оставшихся значений остальные условия задачи.

9.32. В качестве фиксированного значения b удобно выбрать b = 0. Мы придем к системе, из которой легко определить все возможные а. (!!)

Найденные значения а

необходимо проверить.

9.33. Наряду с решением (x₁, у₁) система имеет решение (x₁, -у₁). Она может иметь единственное решение лишь при у = 0. Подставив это значение у, находим, что а = 0. Достаточно ли выполнение условия а = 0 для того, чтобы у системы было единственное решение?

9.34. После исключения  получится уравнение

^{x^2}/_y^2 - 2^x/_y + у^2 + 2x - 2у = 3.

Его не следует преобразовывать в уравнение четвертой степени. Если в качестве вспомогательного неизвестного z взять некоторое выражение, содержащее x и у, то получится квадратное уравнение относительно z.

9.35. Все прямые у = а(x + 5) + 4 проходят через точку (-5; 4). Построение графика функции у = |6 - |x - 3| - |x + 1|| удобно начать с построения графика функции

у = 6 - |x - 3| - |x + 1|.

9.36. Уравнение равносильно системе

У первого уравнения есть корни

Остается выяснить, когда их два, а когда один, а также, при каких а для каждого из них удовлетворяется участвующее в системе неравенство.

9.37. Для упрощения симметрических многочленов применяют подстановку x + ¹/_x = t. Здесь возможна похожая подстановка. Наличие в числителе каждой дроби множителя x упрощает решение.

9.38. Вы упростите вычисления, если обратите внимание, что 84 693 делится на 327.

K главе 10

10.1. Ввести обозначения а = 1 + k и b = 1 - k.

10.2. Обозначим выражение, стоящее в левой части неравенства, через P. Разделив его на а₁а₂...а_n = 1, после несложных преобразований получим

Для оценки P удобно рассмотреть теперь Р^2 и заметить, что

10.3. Способ 1. Воспользоваться тем, что с а и с b, и оценить каждое слагаемое.

Способ 2.

Применить свойство показательной функции, приняв во внимание, что а с, b с.

10.5. Использовать условие а + b + с = 1, чтобы убедиться, что неравенство будет обязательно строгим.

10.7. Показательная функция (^a/_b)^x , в силу условия задачи, является возрастающей.

10.8. Применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к произведению каждых двух чисел, равноотстоящих от концов в выражении n!.

10.9. Способ 1. В неравенстве (1 - u)(v - 1)  0 (см. указание I на с. 141) раскрыть скобки и воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим чисел uv и w.

Способ 2. Воспользоваться неравенством ^u/_v + ^v/_u 2 (сложить его с полученным в указании I).

10.10. Оценить произведение (p - а)(p - b)(p - с) суммой этих чисел можно, воспользовавшись неравенством

xyz = ^{(x + y + z)^3}/₂₇ .