Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

6.16. Условие 11(4x - 1) = 69(у - x) удовлетворяется при целочисленных значениях x и у, только если 4x - 1 = 69k, у - x = 11n. Из первого соотношения следует, что k + 1 делится на 4. Отсюда k = 3, 7, 11, ... .

K главе 7

7.1. Вынести за скобки в числителе , а в знаменателе . После этого дробь сократится.

7.2. Трехчлен 1 + x - x^2 является общим множителем знаменателей дробей в первой скобке.

7.3. Последнее слагаемое нужно преобразовать отдельно, после чего его можно будет объединить с первыми двумя.

7.4. Поскольку степень каждого члена числителя вдвое больше степени соответствующего члена знаменателя, то дробь целесообразно умножить на выражение, сопряженное знаменателю.

7.6. Преобразовать подкоренные выражения, прибавив и вычтя из них единицу. При извлечении корня использовать условия задачи.

7.7. Можно воспользоваться формулой сложного радикала

7.9. Возвести левую часть, равную 2, в куб, воспользовавшись формулой (x + у)^3 = x^3 + у^3 + 3xу(x + у), где x + у

= 2.

7.10. Равенство а + b = - с возвести в куб, а равенство а + b + с = 0 дважды возвести в квадрат. Полученные таким образом соотношения учесть при преобразовании левой части равенства, которое нужно доказать.

7.11. Итак, можно безболезненно рассмотреть лишь случай x >= 0, у — любое. Его придется разбить на два случая: |у| = x и |у| x. В последнем случае .

7.12. Возведенное в куб выражение преобразовать и упростить, воспользовавшись им же.

7.13. Тождественное равенство многочленов означает равенство их коэффициентов:

а^3 - с^3 = 0,   3(а^2b - с^2) = 24, ... .

Из первого равенства следует, что а = с, после чего можно упростить все другие соотношения.

K главе 8

8.2. Перемножить первую скобку с третьей, а вторую с четвертой.

8.5. Полученное тождество справедливо при всех значениях x, в частности при x = i.

8.6. Полезно заметить, что при целых значениях x /= 0 выражение  Это позволяет ограничиться рассмотрением таких целых у

, что у^2 = 6.

8.7. Так как все коэффициенты уравнения — рациональные числа, то можно предвидеть, что наряду с корнем 3 + 1 должен существовать корень 3 - 1.

8.8. Теоремы Виета недостаточно, так как уравнение в этом случае может вовсе не иметь действительных корней.

8.11. Приравнять остаток нулю и потребовать, чтобы квадратный трехчлен, получившийся в частном, был положителен, т. е. имел отрицательный дискриминант.

8.12. В полученном тождестве следует выбрать x = 2 и x = 3. Получим два уравнения относительно а и b.

8.13. Записать x⁴ + 1 в виде произведения квадратных трехчленов с неопределенными коэффициентами, раскрыть скобки и воспользоваться условием равенства двух многочленов.

8.14. Многочлен делится на у^3, если его свободный член и коэффициенты при у и у^2 равны нулю.

8.15. Воспользоваться условием тождественного равенства двух многочленов.

K главе 9

9.3. Один способ — дополнить левую часть до полного квадрата, второй — обозначить второе слагаемое через u^2 и перейти к системе.

9.4. При возведении в куб воспользоваться формулой куба суммы в виде (а + b)^3 = а^3 + b^3 + 3аb(а + b). Выражение а + b заменить правой частью данного уравнения.

9.6. Если ввести новое неизвестное p = u

+ v, то с помощью уравнения u - v = 1 можно через p выразить как u, так и v. Это поможет решить второе уравнение системы.

9.7. Из системы, полученной в результате замены, исключить свободные члены. Это приведет к уравнению, левую часть которого легко разложить на множители.

9.8. В качестве вспомогательного неизвестного удобно выбрать

9.9. Найти x и сделать проверку. Обратить внимание на то обстоятельство, что разность, стоящая в левой части данного уравнения, всегда положительна.

9.10. Второй путь удобнее, так как не приходится решать неравенство с параметром , что значительно упрощает исследование.

9.14. Первое уравнение задает квадрат с центром в начале координат и с диагоналями, равными по длине 2, расположенными на координатных осях.

9.15. Ввести новые неизвестные: x + ¹/_x = u, у + ¹/_y = v.

9.16. В первое и второе уравнения входит разность у - z. Ее-то и следует исключить из этих уравнений.

9.17. Сумму x⁴ + у⁴ в третьем уравнении удобно выразить через x^2 + у^2 и xу

. В результате придем к уравнению относительно z.

9.18. Уравнение x + у = 1 - z позволит также упростить выражение, оказавшееся в скобках после того, как в третьем уравнении был вынесен за скобку множитель 1 - z.

9.19. Поскольку а, b и с — корни многочлена M(t), его можно записать в виде M(t) = (t - а)(t - b)(t - с). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t в двух выражениях для M(t), найдем u, v и w (см. указание I, с. 138). Постарайтесь закончить решение, не прибегая к излишним выкладкам.

9.20. Умножить первое уравнение на xу^2z^2, а второе на x^2уz^2. Будет ли нарушена при этом равносильность?

9.22. Умножить первое уравнение на z и вычесть из второго. Аналогично поступить со вторым и третьим уравнениями.