Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Решая систему уравнений, как правило, следует держать в поле зрения два обстоятельства. Во-первых, систему уравнений нужно воспринимать в целом, так, как вы воспринимали бы ее, решая вне связи с задачей. Это позволит найти более рациональный ключ к ее решению. Во-вторых, нельзя упустить из виду те неизвестные (или комбинации неизвестных), которые позволят ответить на вопрос задачи. Благодаря этому можно обойтись без излишних вычислений.

В нашем примере второе обстоятельство должно побудить нас использовать уравнение (4) для упрощения уравнения (3), в результате чего из (3) будет исключено неизвестное t₂, которое нас не интересует. Однако после замены t₂ − t₃ на 2 уравнение (3) потеряет симметрию относительно t₁x и t₂у, что затруднит использование уравнений (1). Если же в уравнении (3) раскрыть скобки и вспомнить, что xt₁ = ⅓ и уt₂ = ⅓, то получим уравнение

t₃(x + у) = ½.

С его помощью можно выразить x + у через t₃, а из уравнения zt₃ = ⅓ можно выразить через t₃

и неизвестное z. Подставляя эти выражения в (2), получим

2t₃ + 9 = 3t₃,

откуда

t₃ = 9.

Дальнейшее решение системы не представляет труда. Находим последовательно: t₂ = 11, z = ¹/₂₇, у = ¹/₃₃. Из уравнения (2) определяем x = ⁵/₁₉₈ и t₁ = ¹/_3x= ⁶⁶/₅. Итак, первый рабочий работал 13 ч 12 мин.

Эту же задачу можно было бы решить с помощью меньшего числа неизвестных, если ввести в рассмотрение, помимо величин x, у и z

, имеющих прежний смысл, величину t, обозначающую время, в течение которого рабочие работали вместе, т. е. время работы третьего рабочего. Это привело бы нас к системе:

t(x + у + z) = ⁵/₆     (1′)

(за время t рабочие сделали вместе ⁵/₆  всей работы),

tz = (t + 2)у = ⅓     (2′)

(за время t третий рабочий сделал треть всей работы, а второму на это потребовалось на 2 ч больше),

¹/_x + y + 9 = ¹/_z     (3′)

(первый и второй рабочие выполняют всю работу на 9 ч быстрее, чем третий, работая один).

Поскольку tz = ⅓, то из (1′) найдем 

x + y = ¹/_2t. 

Вместе с z = ¹/_3t подставим в (3′). Получим

t

 = 9.

Как и прежде, найдем последовательно z, у и x. На вопрос задачи можно ответить, вспомнив, что первый рабочий работал столько, чтобы успеть сделать ⅓ всей работы, т. е. ¹/_3x.

Конечно, второе решение выглядит более изящно, чем первое. Однако признать его лучшим трудно, поскольку за те простые уравнения, от которых мы отказались, пришлось уплатить некоторым усложнением логики.

А теперь приведем арифметическое решение этой задачи — решение, в котором удается обойтись вообще без составления уравнений.

Так как рабочие совместно выполнили 1 − ¹/₆ = ⁵/₆ всей работы, причем третий сделал ⅓, то на долю первого и второго осталось ⁵/₆ − ⅓ = ½ всей работы. Следовательно, если бы первый и второй успели выполнить всю работу, то третий за то же самое время сделал бы ⅔; ему останется 1 − ⅔ = ⅓ , на что ему потребовалось бы в силу последнего условия задачи 9 ч.

Так как каждый рабочий сделал одинаковое количество деталей, т. е. ⅓ всей работы, то третий работал ровно 9 ч. Тогда второй работал 9 + 2 = 11 ч. Так как он тоже сделал ⅓ всей работы, то его производительность равна ¹/₃₃ всей работы в час. Мы знаем, что первый и второй тратят на ½ всей работы столько же, сколько третий на ⅓, т. е. 9 ч. Второй сделает за это время 33 · 9 = ³/₁₁ всей работы. Следовательно, на долю первого приходится ½ − ³/₁₁ = ⁵/₂₂. Его производительность ⁵/₂₂ : 9 = ⁵/₁₉₈ в час. Свою треть работы он выполнил за ⅓ : ⁵/₁₉₈ = 13¹/₅ (ч), т. е. за 13 ч 12 мин.

Хотя решение выглядит намного красивее, чем первые два, его тоже трудно назвать существенно лучшим. Взгляните внимательно на уравнения второго решения, и вы заметите, что третье решение получено почти «дословным» пересказом этих уравнений.

Таким образом, на пути к решению задачи вас не должно останавливать большое число неизвестных, которые, по вашему мнению, следует ввести.

Однако старайтесь не вводить неизвестные, размерность которых не встречается в условии и не может быть получена как комбинация элементов условия. Введение таких неизвестных может усложнить задачу.

Вот простой пример.

Пример 2. Расстояние между двумя пунктами A и В пароход проходит по течению реки на а ч быстрее, чем то же расстояние в стоячей воде, и на b ч быстрее, чем против течения (b > а > 0). За какое время пароход проходит расстояние от A до В по течению?

Если ввести в рассмотрение неизвестные: v — скорость парохода в стоячей воде, w — скорость течения реки, x — расстояние, то получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Найти из этой системы величину ^x/_v + w можно, если сделать следующие преобразования:

и обозначить ^v/_x = у, ^w/_x = z. Мы придем к системе относительно у и z, решив которую, вычислим ¹/_y + z.

Однако такую систему можно было получить сразу, если бы мы не ввели в качестве неизвестного x пройденное пароходом расстояние.