Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

При решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2kπ, x − у = 2lπ; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1)π, x − у = 2lπ. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x − у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x − у = πk может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.

Однородные уравнения. Уравнение вида

а₀ sin^k x + а₁ sin^k − 1 x cos x + ...

... + а_k − 1 sin x cos^k − 1 x + а_k cos^k x = 0     (1)

называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют одинаковую степень относительно sin x и cos x.

При α₀ ≠ 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых cos x = 0. В самом деле, полагая cos x = 0, мы получаем из уравнения (1): а₀ sin^k x = 0, откуда sin^k x = 0, так как а₀ ≠ 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких значений x

, при которых sin x и cos x одновременно обращаются в нуль.

Аналогично при а_к ≠ 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых sin x = 0.

Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.

Случай 1. a₀ ≠ 0 и а_k ≠ 0. В этом случае, разделив уравнение (1) на cos^k x, мы получим (поскольку cos x ≠ 0) равносильное ему алгебраическое уравнение

а₀у^к + а₁у^k − 1 + ... + а_{k − 1}у + а_k = 0       (2)

относительно у = tg x.

Можно также делить уравнение (1) на sin^k x. Тогда (поскольку sin x ≠ 0) мы получим равносильное уравнению (1) алгебраическое уравнение

а₀ + а₁z + ... + а_{k − 1}z^{k − 1} + а_kz^k = 0      (3)

относительно z = ctg x.

Пример 1. Решить уравнение

sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x = 0.     (4)

Разделив его на cos³ x, получим алгебраическое уравнение

у³ − 2у² − у + 2 = 0,

где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:

у₁ = −1, у₂ = 1, у₃ = 2.

Теперь остается решить совокупность уравнений

tg x = −1, tg x = 1, tg x

= 2.

Мы получим следующие корни уравнения (1):

x = nπ ± ^π/₄ , x = nπ + arctg 2.

Случай 2. a₀ = 0, или a_k = 0, или а₀ = a_k = 0. Пусть, например, a₀ = a_k = 0, а a₁ ≠ 0 и a_{k − 1} ≠ 0. Тогда уравнение (1) примет вид

a₁ sin^k − 1 x cos x + a₂ sin^k − 2 x cos² x + ...

... + a_{k − 2} sin² x cos^k − 2 x + a_{k − 1} sin x cos^k − 1 x = 0.      (5)

В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение

sin x cos x (a₁ sin^k − 1 x + a₂ sin^k − 2 x cos x + ...

... + a_{k − 2} sin x cos^k − 2 x + a_{k − 1} cos^k − 1 x) = 0,

распадающееся на совокупность уравнений

sin 2х = 0,

a

₁ sin^k − 1 x + a₂ sin^k − 2 x cos x + ...

... + a_{k − 2} sin x cos^k − 2 x + a_{k − 1} cos^k − 1 x = 0,

первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).

Пример 2. Решить уравнение

sin⁴ x cos x − 2 sin³ x cos² x − sin² x cos³ x + 2 sin x cos⁴ x = 0.

Левую часть уравнения разлагаем на множители:

sin x cos x (sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x) = 0. Получаем совокупность уравнений

sin x = 0, cos x = 0,

sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x = 0.

Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.

Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе

Если переписать эту систему в виде

то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что

Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = ^3π/₂, у = ^π/₄ (ни при каком целом n из выражения ^π/₄ + ³ⁿπ/₂ нельзя получить ^3π/₄).

В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x

+ у и x − у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.

Правильным было бы такое решение:

откуда

x = ^π/₄ + (2т + n), у = − ^π/₄ − ^π/₂ (2т − n).

Прежде чем приступать к решению задач, ознакомьтесь с введением к главе 9.

Решите уравнения:

13.1. 1 + sin 2x + 2√2 cos 3x sin (x + ^π/₄) = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.

13.2..

13.3. .

13.4. tg 2x tg 7x = 1.

13.5.

13.6. 2 tg 3x − 3 tg 2x = tg² 2x tg 3x.

13.7. sin³ x + cos³ x + ¹/_√2 sin 2x sin (x + ^π/₄) = cos x + sin 3x.

13.8. 4 tg 4x − 4 tg 3x − tg 2x = tg 2x tg 3x tg 4x.

13.9. Найдите решения уравнения

лежащие в интервале (0, 2π).

13.10. Решите уравнение

sin (x − α) = sin x − sin α.