Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

Если известна симметричная пара простых чисел и необходимо определить число ей соответствующее, выбирается строка и столбец, соответствующие паре, а затем на пересечении выбранных строки и столбца находиться число n, которому соотноситься выбранная симметричная пара.

Например, для пары простых чисел (13,31) в пересечении строки числа 13 (P₆) со столбцом числа 31 (P₁₁) выбираем число n равное 22. Тогда четное число 2n будет равно 44, которое равно сумме симметричной пары чисел.

Изучение полученной таблицы 5 показывает, что, она бесконечна и охватывает все натуральные числа от 1 до ∞.

Это следует из того, что множество простых чисел бесконечно, что позволяет сделать вывод о бесконечности и таблицы 5. В практических целях таблица 5 может ограничиваться тем предельным числом n, до которого исследуются симметричные простые числа.

Анализируя таблицу 5, можно предположить, что для любого числа от 1 до n найдется хотя бы одна симметричная пара простых чисел.

Заметим еще одно важное, но не совсем очевидное свойство таблицы 5.

Если обозначить разность между двумя соседними простыми числами в строке или столбце как d_pi , то она будет равна

d_pi=p_i+1 – p_i, (4.1)

где p_i – i –тое простое число в строке или в столбце;

p_i+1 – последующее простое число в строке или в столбце;

i – номер простого числа в строке или столбце.

Анализ показывает, что разности между двумя числами соседних строк или столбцов в таблице равны разности d_pi деленной на 2, т.е. шагу симметрии

δ_i= d_pi /2, (4.2)

где i – номер строки или столбца.

Приведем примеры (см. таблицу 5):

Имеем для восьмого (P₈) и девятого (P₉) столбца i =8,

Δ₈= P₉ – P₈ = 23 – 19 = 4;

А шаг симметрии будет δ₈= d_pi/2=2.

Тогда, по всему девятому столбцу имеем:

a₁₉= a₁₈+ δ₈=10+2=12;

a₂₉= a₂₈+ δ₈=11+2=13;

a₃₉= a₃₈+ δ₈=12+2=14;

a₄₉= a₄₈+ δ₈=13+2=15;

………………..

a₈₉= a₈₈+ δ₈=19+2=21.

Что подтверждается данными таблицы 5.

Далее, к примеру, для шестой (P₆) и седьмой (P₇) строк i=6 имеем:

a₆₇= a₆₆+ δ₆=13+2=15;

a₆₈= a₆₇+ δ₇=15+1=16;

a₆₉= a₆₈+ δ₈=16+2=18;

a₆₁₀= a₆₉+ δ₉=

18+3=21;

………………..

a₆₁₈= a₆₁₇+ δ₁₇=36+1=37.

Следует заметить, что в первом примере значение δ_i для всех элементов в столбце одинаковое, а во втором примере δ_i изменяется при переходе от одного элемента строки к другой в зависимости от номера столбца.

Если для определенности будем считать, что в верхней строке расположены простые числа a, в крайней левом столбце простые числа b, то чтобы не рассматривать зеркально верхнему треугольнику нижний от главной диагонали треугольник, следует принять условие a≤ b. Тогда в общем виде таблица 5 будет симметрична относительно главной диагонали и все свойства для нижней части таблица 5 будут идентичны свойствам для верхней части.

Таким образом, из вышесказанного обобщения можно записать следующие выражения:

– для всех элементов столбца

a_*i+1=a_*i+δ_i;

– для всех элементов строки

a_i+1*=a_i*+δ_i,

где

δ_i

=(p_i+1– p_i)/2;

i=1,2,3, …. k – номер столбца или строки в таблице 5;

* – символ, обозначающий индексы по всей строке или столбцу.

И, наконец, исследуя симметричные числа либо на числовой оси (см. рис. 2) либо по таблице 5 можно выделить еще одно их свойство. Это относиться к тем арифметическим прогрессиям, которые они образуют. Выразим это свойство следующим утверждениями.

Утверждение 1. Любое число n натурального ряда больше 1 равно среднему арифметическому симметричных пар этого числа.

Доказательство данного утверждения очевидно и следует из выражения (1.5).

Из данного свойства вытекает и последующее свойство симметричных пар чисел, сформулированного в утверждении 2.

Утверждение 2. Любое число n натурального ряда больше 1 и принадлежащие ему симметричные пары числа являются членами арифметической прогрессии.

Доказательство указанного утверждения также очевидно и вытекает из выражений (1.7), (2.2).

Утверждение 3. Симметричная пара любого числа n больше 1 состоит из симметричных пар либо только четных, либо только нечетных чисел.

Доказательство.

Согласно (1.3) имеем:

a=n – δ

b=n + δ,

где δ=1,2… n.

Отсюда следует, что для любого числа n пара чисел a и b будут иметь одинаковую четность, т.е. одновременно являются либо четными, либо нечетными, так как арифметические операции «+» и «–» являются однотипными.

5. Обобщающие выводы и четыре теоремы

Предыдущие разделы работы подвели к общим выводам представления четных чисел суммой двух других.

Исходя из вышеописанного можно сделать предположение, что любое четное число больше двух представимо одновременно в виде суммы двух чисел в следующих сочетаниях:

1) суммой симметричных пар четных чисел;

2) суммой симметричных пар нечетных чисел;

3) суммой симметричных пар нечетных составных чисел;