Статистика: учебное пособие

Статистическое описание совокупности было бы неполным, если ограничиться лишь показателями центральной тенденции, т. е. средними величинами, модой и медианой, которые являются равнодействующими ряда изменяющихся значений признака. В одних случаях значение признака концентрируется возле некоторого центра очень тесно, в других случаях наблюдается значительное рассеивание, хотя средняя величина может быть одинаковой. В связи с этим средняя величина как показатель центральной тенденции не дает исчерпывающей характеристики изучаемой совокупности. Возникает необходимость изучения характера рассеивания признака. Хотя отклонения от средней и регулируются общими для всех единиц совокупности причинами, формирующими среднюю, но в то же время они обусловлены и индивидуальными причинами. Например, отклонения производительности труда отдельных рабочих, работающих в одной бригаде, а стало быть, находящихся в одинаковых условиях труда, вызваны не общими условиями и причинами, а индивидуальными обстоятельствами рабочих и их квалификацией, состоянием здоровья, настроением, сообразительностью и т. д. Поэтому изучение отклонений от средней их размеров и закономерности распределения представляет большой интерес для исследователя. Это важно прежде всего для оценки однородности совокупности, которую характеризует данная средняя величина, так как для качественно однородной совокупности характерна вариация в определенных границах. Стало быть, чем меньше вариация, тем качественно однороднее совокупность, тем типичнее и объективнее средняя величина, характеризующая ее.

Измерение вариации имеет большое значение и для изучения устойчивости изучаемых экономических явлений и процессов. Так, для сельского хозяйства очень важно не только получить среднюю урожайность сельскохозяйственных культур, но и обеспечить ее устойчивость во времени и пространстве, а для этого надо научиться рассчитывать показатели устойчивости, научиться измерять вариацию изучаемых явлений  1,25а.

Для оценки вариации признака статистика знает и использует несколько показателей. Простейшим из них является размах вариации, рассчитываемый по формуле: X_max – X_min, т. е. как разность между максимальным и минимальным значением признака. Однако этот показатель далеко не совершенен, так как при его построении участвуют лишь крайние значения признака, которые могут быть случайными.

Более точно можно определить вариацию признака при помощи показателя, учитывающего отклонения всех значений признака от средней. Это так называемые абсолютные показатели: среднее линейное отклонение а и среднее квадратическое отклонение . Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных значений признака от средней величины. Но сумма отклонений от средней

 всегда равна нулю (одно из свойств средней величины), поэтому для расчета среднего линейного отклонения суммируют абсолютные отклонения без учета его знака:

Среднее квадратическое отклонение также может быть простое и взвешенное:

Среднее квадратическое отклонение является наиболее распространенным показателем вариации, оно несколько больше среднего линейного отклонения. Установлено, что в симметричных или умеренно асимметричных распределениях соотношение между ними можно записать в виде:

1,25а

.

Следует иметь также в виду, что среднее линейное отклонение будет минимальным, если оно рассчитано от медианы, т. е.:

Среднее квадратическое отклонение минимально при вычислении его от средней арифметической, это же относится и к дисперсии, которая представляет собой квадрат среднего квадратического отклонения.

Дисперсия 

 широко применяется в дисперсионном анализе, но не как мера вариации, так как ее размерность не соответствует размерности признака.

Содержание среднего квадратического отклонения то же, что и среднего линейного отклонения: т. е. чем меньше а и? тем однороднее совокупность, тем типичнее (объективнее) средняя величина, тем устойчивее явление и процесс.

Рассмотрим вычисление среднего линейного и среднего квадрати-ческого отклонения на примере данных, приведенных в табл. 3.

Таблица 3.

Анализ времени обработки деталей рабочими двух бригад

Средняя величина времени обработки детали составляет в обеих бригадах 124 мин. Для первой бригады Х₁

 =992/8 = 124ми н. и для второй – Х₂ = 1240/10 = 124 мин.

Медианные значения также одинаковы в обеих бригадах. Так, для первой бригады Хме = (116+132)/2 = 124 мин. Для второй бригады – Хме = (122+126)/2 + 124 мин

Модальные значения в данном случае не могут быть определены, так как каждое из значений признаков не повторяется.

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что обе совокупности характеризуются одинаковыми показателями центра распределения, но они могут отличаться по характеру рассеяния отдельных значений признака вокруг этих центров.

Для характеристики рассеяния рассчитаем среднее линейное отклонение. Для первой бригады: